Характеристична функція випадкової величини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Під характеристи́чною фу́нкцією випадкової величини розуміють математичне сподівання випадкової величини :

,

де  — дійсний параметр.

Якщо  — функція розподілу , то

У випадку дискретного розподілу

(ряд Фур'є з коефіцієнтами ). У випадку неперервного розподілу

(перетворення Фур'є)

Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величини[ред.ред. код]

.

Приклад. Нехай має розподіл Бернуллі. Тоді

.
.

Приклад. Нехай має стандартний неперервний рівномірний розподіл. Тоді

.

Властивості характеристичних функцій[ред.ред. код]

Для будь-якої характеристичної функції

,

Якщо з константами і , то ( — характеристична функція ).

Якщо є раз диференційовною по , то при

є рівномірно неперервною функцією на всьому просторі.

Якщо X1, …, Xn - незалежні випадкові величини, та a1, …, an - деякі константи, тоді

Характеристична функція є самоспряженою:

Випадкова величина є симетричною тоді і лише тоді коли характеристична функція є дійснозначною.

Формули перетворення і теорема єдиності[ред.ред. код]

Нехай  — функція розподілу, а  — характеристична функція випадкової величиини . Якщо ,  — точки неперервності , то

Якщо  — неперервна, а  — густина , то спрощується

Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є.

з формули перетворення (рос. обращения) випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.

Якщо, наприклад, якимось чином для отримано характеристичну функцію , то, згідно з теоремою єдиності і

Гранична теорема для характеристичних функцій[ред.ред. код]

Послідовність функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу , якщо у всіх точках неперервності

У дискретному випадку збіжність в основному до , означає, що відповідні функції збігаються: для всіх .

У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо неперервні) для всіх .

Якщо послідовність функції розподілу збігається в основному до функції розподілу , то послідовність відповідних характеристичних функцій збігається до  — характеристичної функції . Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі.

Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій збігається до неперервної функції , то послідовність відповідних функцій розподілу збігається до деякої функції розподілу і є характеристичною функцією ).

Твірні функції[ред.ред. код]

У випадку дискретних випадкових величин, які можуть приймати лише значення часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції.

Нехай є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини вказаного типу, а  — комплексний параметр. Тоді

називається твірною функцією випадкової величини . Функція  — аналітична в . Її границя при дає характеристичну функцію .

Твірні функції мають властивості, аналогічні властивостям характеристичних функцій.

Характеристичні функції багатомірних випадкових величин[ред.ред. код]

Під характеристичною функцією n-мірної випадкової величини розуміють математичне сподівання величини :

,

де ,  — дійсні параметри.

Дивіться також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]