Характеристична функція випадкової величини

Під характеристи́чною фу́нкцією $\psi (t)$ випадкової величини $X$ розуміють математичне сподівання випадкової величини $e^{itX}$:

$\psi (t)=M(e^{itX})\qquad (1)$,

де $t$ — дійсний параметр.

Якщо $F(x)$ — функція розподілу $\!X$, то

$\psi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF(x)$

У випадку дискретного розподілу

$\psi (t)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}$

(ряд Фур'є з коефіцієнтами $p_{k}$). У випадку неперервного розподілу

$\psi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f(x)dx\,\!$

(перетворення Фур'є)

Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величини

• Коли випадкова величина $X$ дискретна, тобто $\mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k},\;k=1,2,\ldots$, то

$\phi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}$.

Приклад. Нехай $X$ має розподіл Бернуллі. Тоді

$\phi _{X}(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=pe^{it}+q$.

• Коли $X$ — це абсолютно неперервна випадкова величина, тобто має щільність $f_{X}(x)$, то

$\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f_{X}(x)\,dx$.

Приклад. Нехай $X\sim U[0,1]$ має стандартний неперервний рівномірний розподіл. Тоді

$\phi _{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{itx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{itx}}{it}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{it}-1}{it}}$.

Властивості характеристичних функцій

Для будь-якої характеристичної функції $\psi (t)$

$\psi (0)=1\qquad |\psi (t)|\leq 1\qquad (-\infty <t<\infty )$,

Якщо $Y=aX+b\;$ з константами $a$ і $b$, то $\psi _{Y}(t)=\psi _{X}(at)e^{i\;b\;t}$ ($\psi _{X}$ — характеристична функція $X$).

Якщо $X$ є $n$ раз диференційованою по $t$, то при $k\leq n$

$\psi ^{(k)}(0)=i^{k}MX^{k}.$

$\psi (t)$ є рівномірно неперервною функцією на всьому просторі.

Якщо $X_{1},\dots ,X_{n}$ - незалежні випадкові величини, та $a_{1},\dots ,a_{n}$ - деякі константи, тоді

$\psi _{a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}}(t)=\psi _{X_{1}}(a_{1}t)\cdots \psi _{X_{n}}(a_{n}t).$

Характеристична функція є самоспряженою: $\psi _{\xi }(-t)=\psi _{-\xi }(t)={\overline {\psi _{\xi }(t)}}$

Випадкова величина $\xi$ є симетричною тоді і лише тоді коли характеристична функція $\psi _{\xi }(t)$ є дійснозначною.

Формули перетворення і теорема єдиності

Нехай $F(x)$ — функція розподілу, а $\psi (t)$ — характеристична функція випадкової величиини $X$. Якщо $x_{1}$, $x_{2}$ — точки неперервності $F(x)$, то

$F(x_{2})-F(x_{1})={1 \over {2\pi }}\lim _{c\to \infty }\int _{\infty }^{\infty }{{e^{itx_{1}}-e^{itx_{2}}} \over it}\ \psi (t)dt$

Якщо $\!X$ — неперервна, а $\!f(x)$ — густина $\!F(x)$, то спрощується

$f(x)={1 \over {2\pi }}\int _{\infty }^{\infty }e^{itx}\psi (t)\;dt$

Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є.

з формули перетворення (рос. обращения) випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.

Якщо, наприклад, якимось чином для $X$ отримано характеристичну функцію $e^{iat-{\sigma ^{2}t^{2} \over 2}}$, то, згідно з теоремою єдиності і $X\in N(x;a,\sigma )$

Гранична теорема для характеристичних функцій

Послідовність $\left\{F(x)\right\}$ функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу $F(x)$, якщо у всіх точках неперервності

$\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)$

У дискретному випадку збіжність в основному $F_{n}(x)$ до $F(x)$, означає, що відповідні функції збігаються: $p_{k}^{n}\rightarrow p_{k}$ для всіх $k$.

У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо $f_{n}(x)$ неперервні) $f_{n}(x)\rightarrow f(x)$ для всіх $\!x$.

Якщо послідовність $\left\{F_{n}(x)\right\}$ функції розподілу збігається в основному до функції розподілу ${F(x)}$, то послідовність відповідних характеристичних функцій $\left\{\psi _{n}(t)\right\}$ збігається до ${\psi (t)}$ — характеристичної функції ${F(x)}$. Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі.

Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій $\left\{\psi _{n}(t)\right\}$ збігається до неперервної функції $\psi (t)$, то послідовність відповідних функцій розподілу $\left\{F_{n}(x)\right\}$ збігається до деякої функції розподілу $F(x)$ і $\psi (t)$ є характеристичною функцією $F(x)$).

Твірні функції

У випадку дискретних випадкових величин, які можуть приймати лише значення $0,\;1,\;\ldots$ часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції.

Нехай $\!p_{k}$ є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини $X$ вказаного типу, а $z$ — комплексний параметр. Тоді

$\phi (t)=\sum _{k}p_{k}\;z^{k}$

називається твірною функцією випадкової величини $X$. Функція $\phi (z)$ — аналітична в $|z|<1$. Її границя при $z\rightarrow e^{it}$ дає характеристичну функцію $F(x)$.

Твірні функції мають властивості, аналогічні властивостям характеристичних функцій.

Характеристичні функції багатомірних випадкових величин

Під характеристичною функцією $n$-мірної випадкової величини розуміють математичне сподівання величини $\exp \sum _{k}t_{k}X_{k}$:

$\psi (t_{1},\ldots ,t_{n})=M{\exp {i\sum _{k}^{n}t_{k}X_{k}}}$,

де $t_{1},...,$, $t_{n}$ — дійсні параметри.

Див. також

• Твірна функція моментів
• Генератриса (твірна функція)
• Генератриса цілочисельної випадкової величини

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.