Неперервний рівномірний розподіл
Із застосуванням конвенції максимуму Функція розподілу ймовірностей
Параметри
−
∞
<
a
<
b
<
∞
{\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}
Носій функції
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
Розподіл імовірностей
{
1
b
−
a
x
∈
[
a
,
b
]
0
x
∉
[
a
,
b
]
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&x\in [a,b]\\0&x\notin [a,b]\end{cases}}}
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
{
0
x
≤
a
x
−
a
b
−
a
x
∈
[
a
,
b
]
1
x
≥
b
{\displaystyle {\begin{cases}0&x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}}&x\in [a,b]\\1&x\geq b\end{cases}}}
Середнє
1
2
(
a
+
b
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}
Медіана
1
2
(
a
+
b
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}
Мода будь-яке значення з
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
Дисперсія
1
12
(
b
−
a
)
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}}
Коефіцієнт асиметрії 0 Коефіцієнт ексцесу
−
6
5
{\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}}
Ентропія
ln
(
b
−
a
)
{\displaystyle \ln(b-a)\,}
Твірна функція моментів (mgf)
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}}
Характеристична функція
e
i
t
b
−
e
i
t
a
i
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}}
Рівномірний розподіл (неперервний) — в теорії імовірностей розподіл , який характеризується тим, що ймовірність будь-якого інтервала залежить тільки від його довжини.
Кажуть, що випадкова величина має неперервний рівномірний розподіл на відрізку
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
щільність
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X}(x)}
f
X
(
x
)
=
{
1
b
−
a
,
x
∈
[
a
,
b
]
0
,
x
∉
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{1 \over b-a},&x\in [a,b]\\0,&x\not \in [a,b]\end{matrix}}\right..}
Пишуть:
X
∼
U
[
a
,
b
]
{\displaystyle X\sim U[a,b]}
x
=
a
{\displaystyle x=a}
x
=
b
{\displaystyle x=b}
1
/
2
(
b
−
a
)
{\displaystyle {1/2(b-a)}}
інтеграл Лебега від щільності не залежить від поведінки останньої на множинах міри нуль, ці варіації не впливають на знаходження зв'язаних з цим розподілом імовірностей.
Інтегруючи визначену вище щільність отримуємо:
F
X
(
x
)
≡
P
(
X
≤
x
)
=
{
0
,
x
<
a
x
−
a
b
−
a
,
a
≤
x
<
b
1
,
x
≥
b
.
{\displaystyle F_{X}(x)\equiv \mathbb {P} (X\leq x)=\left\{{\begin{matrix}0,&x<a\\{x-a \over b-a},&a\leq x<b\\1,&x\geq b\end{matrix}}\right..}
Оскільки щільність рівномірного розподілу розривна в граничних точках відрізка
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
d
d
x
F
X
(
x
)
=
f
X
(
x
)
,
∀
x
∈
R
∖
{
a
,
b
}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{a,b\}}
Простим інтегруванням отримуємо:
M
X
(
t
)
=
e
t
b
−
e
t
a
t
(
b
−
a
)
{\displaystyle M_{X}(t)={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}
звідки знаходимо всі потрібні моменти неперервного рівномірного розподілу:
E
[
X
]
=
a
+
b
2
{\displaystyle \mathbb {E} \left[X\right]={\frac {a+b}{2}}}
E
[
X
2
]
=
a
2
+
a
b
+
b
2
3
{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{2}\right]={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}}
D
X
=
(
b
−
a
)
2
12
{\displaystyle \operatorname {D} X={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}
Таким чином
E
[
X
n
]
=
1
n
+
1
∑
k
=
1
n
a
k
b
n
−
k
{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=1}^{n}{a^{k}b^{n-k}}}
Якщо
a
=
0
{\displaystyle a=0}
b
=
1
{\displaystyle b=1}
X
∼
U
[
0
,
1
]
{\displaystyle X\sim U[0,1]}
стандартним . Має місце твердження:
Якщо випадкова величина
X
∼
U
[
0
,
1
]
{\displaystyle X\sim U[0,1]}
Y
=
a
+
(
b
−
a
)
X
{\displaystyle Y=a+(b-a)X}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
Y
∼
U
[
a
,
b
]
{\displaystyle Y\sim U[a,b]}
Дискретні одновимірні Дискретні одновимірні Неперервні одновимірні Неперервні одновимірні Неперервні одновимірні Неперервні одновимірні Змішані Багатовимірні (спільні) Напрямкові Вироджені та сингулярні [en] Сімейства
![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce)
![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&x\in [a,b]\\0&x\notin [a,b]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376f1b06a08ee3aa1e76d2a1414f16bece18aeea)
![{\displaystyle {\begin{cases}0&x\leq a\\{\frac {x-a}{b-a}}&x\in [a,b]\\1&x\geq b\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55cc41317107af936b629967508aaea174d924b6)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{1 \over b-a},&x\in [a,b]\\0,&x\not \in [a,b]\end{matrix}}\right..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4039fd993e626203670e60134ceb7e7929a5df3)
![{\displaystyle X\sim U[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d509fb56e608a786132dbf75361145b770d13b)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[X\right]={\frac {a+b}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c3529daac6c04d15e40b6dc193b3b14d67f01ad)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{2}\right]={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a9118d445bc34cfb654224f1e06635edfdda79)
![{\displaystyle \mathbb {E} \left[X^{n}\right]={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=1}^{n}{a^{k}b^{n-k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0dff464b7d6318a2255f0fe3722f8e90fb08ea)
![{\displaystyle X\sim U[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3610abb42eb437d4b299a01c755ba35989970ea)
![{\displaystyle Y\sim U[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5417fbdca4f361c01d679c458e937f8ae6a17675)
