Неперервний рівномірний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Неперервний рівномірний розподіл

Uniform distribution PDF.png
Using maximum convention
Функція розподілу ймовірностей
CDF of the uniform probability distribution.
Параметри -\infty < a < b < \infty \,
Носій функції x \in [a,b]
Розподіл ймовірностей \begin{cases}
                  \frac{1}{b - a} & \text{for } x \in [a,b]  \\
                  0               & \text{otherwise}
                \end{cases}
Функція розподілу ймовірностей (cdf) \begin{cases}
                  0               & \text{for } x \le a \\
                  \frac{x-a}{b-a} & \text{for } x \in [a,b] \\
                  1               & \text{for } x \ge b
                \end{cases}
Середнє \tfrac{1}{2}(a+b)
Медіана \tfrac{1}{2}(a+b)
Мода any value in [a,b]
Дисперсія \tfrac{1}{12}(b-a)^2
Коефіцієнт асиметрії 0
Коефіцієнт ексцесу -\tfrac{6}{5}
Ентропія \ln(b-a) \,
Твірна функція моментів (mgf) \frac{\mathrm{e}^{tb}-\mathrm{e}^{ta}}{t(b-a)}
Характеристична функція \frac{\mathrm{e}^{itb}-\mathrm{e}^{ita}}{it(b-a)}

Рівномірний розподіл (неперервний) — в теорії імовірностей розподіл, який характеризується тим, що ймовірність будь-якого інтервала залежить тільки від його довжини.

Визначення[ред.ред. код]

Кажуть, що випадкова величина має неперервний рівномірний розподіл на відрізку [a,b] ,де a,b\in \mathbb{R}, якщо щільність f_X(x) має вигляд:


f_X(x) = \left\{
\begin{matrix}
{1 \over b-a}, & x\in [a,b] \\
0, & x\not\in [a,b]
\end{matrix}
\right..

Пишуть: X \sim U[a,b]. Деколи значення щільності в граничних точках x=a і x=b міняють на інші, наприклад {1 / 2(b-a)}.Так як інтеграл Лебега від щільності не залежить від поведінки останньої на множинах міри нуль, ці варіації не впливають на знаходження зв'язаних з цим розподілом імовірностей.

Функція розподілу[ред.ред. код]

Інтегруючи визначену вище щільність отримуємо:


F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{
\begin{matrix}
0, & x < a \\
{x-a \over b-a}, & a \leq x < b \\
1, & x \ge b
\end{matrix}
\right..

Оскільки щільність рівномірного розподілу розривна в граничних точках відрізка [a,b], то функція розподілу в цих точках не є диференційовною. В інших точках справедлива рівність:

\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{a,b\}.

Функція моментів[ред.ред. код]

Простим інтегруванням отримуємо:

M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)},

звідки знаходимо всі потрібні моменти неперервного рівномірного розподілу:

\mathbb{E}\left[X\right] = \frac{a+b}{2},
\mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{a^2+ab+b^2}{3},
\operatorname{D} X = \frac{(b-a)^2}{12}.

Таким чином

\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^n{a^k b^{n-k}}.

Стандартний рівномірний розподіл[ред.ред. код]

Якщо a = 0, а b=1, тобто X \sim U[0,1], то такий неперервний рівномірний розподіл називають стандартним. Має місце твердження: Якщо випадкова величина X \sim U[0,1], и Y = a+(b-a)X, где a < b, то Y \sim U[a,b]. Таким чином, маючи генератор випадкового вибору із стандартного неперервного рівномірного розподілу, легко побудувати генератор вибору будь-якого неперервного рівномірного розподілу.

Див. також[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний