Теорема Діріхле про оборотні елементи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Діріхле про оборотні елементи — теорема алгебраїчної теорії чисел, що описує підгрупу оборотних елементів (які також називаються одиницями) кільця алгебраїчних цілих чисел числового поля .

Формулювання[ред.ред. код]

Нехай — числове поле (тобто скінченне розширення ), а — його кільце цілих чисел і — група його оборотних елементів. Тоді є ізоморфною скінченнопородженій абелевій групі , де циклічна група коренів одиниці, що належать , а , де — число різних вкладень в поле дійсних чисел , а — число пар комплексно-спряжених різних вкладень в , які не є дійсними.

Наслідки і узагальнення[ред.ред. код]

Зокрема, оскільки для розширення степеня n, , то , і рівність виконується тоді і тільки тоді, коли всі вкладення в є вкладення в поле дійсних чисел.

Існування нетривіальних цілих розв'язків рівняння Пелля випливає з теореми, застосованої до - квадратичного розширенню .

Випадок групи оборотних елементів максимального рангу пов'язаний [1] з багатовимірними ланцюговими дробами.

Доведення[ред.ред. код]

Впорядкуємо всі вкладення числового поля в поле комплексних чисел так, що перші вкладень є вкладеннями у поле дійсних чисел, а і для всіх є парами комплексно спряжених вкладень, що не є дійсними. Також введемо вкладення задане як .

Відображення задане як є гомоморфізмом із у гіперплощину в (позначимо її ). Його ядро складається з елементів для яких для всіх вкладень . У стандартній топології на ядро є обмеженою підмножиною дискретної множини і тому є скінченною підгрупою. Якщо її порядок є рівним то кожен його елемент є коренем одиниці N-ого степеня. То ядро є циклічною групою оскільки воно є підгрупою циклічної групи всіх коренів з одиниці степеня .

Залишається довести, що образ відображення є ґраткою у гіперплощині . Нехай — обмежений окіл початку координат у гіперплощині . Для точок що відображаються у всі є обмеженими, тож у стандартній топології вони належать перетину і деякої обмеженої множини. Тому їх кількість є скінченною. Як наслідок образ відображення є дискретною підмножиною у гіперплощині .

Необхідно довести, що лінійною оболонкою цього образу є вся гіперплощина . Для доведення цього факту достатньо довести твердження:

Для довільних дійсних чисел що не є всі рівними між собою, існує елемент для якого .

Нехай — додатні дійсні числа, такі що , де d є дискримінантом поля K. Множина задана нерівностями , для , i для є обмеженою, замкнутою, опуклою і симетричною щодо початку координат; її об'єм є рівним . Згідно теореми Мінковського існує ненульове ціле число у полі для якого для всіх вкладень. Тоді також з означень .

Оскільки також , то

і подібним чином

.

Зважаючи на ці обмеження і . І зокрема .

Назвемо еквівалентними якщо є елементом . Елементи у класі еквівалентності породжують певний головний ідеал і з точністю до знаку їхня норма є нормою цього головного ідеалу. Тож існує лише скінченна кількість класів еквівалентності норми яких є обмеженими . Нехай — представники цих класів. Введений вище елемент лежить в одному з таких класів, тож , є оборотним елементом для деякого i.

Але і це відрізняється від щонайбільше на , що не залежить від чисел . Можна обрати так щоб на додачу до попередніх умов також . Тоді

Примітки[ред.ред. код]

  1. В. И. Арнольд. Цепные дроби. — М. : МЦНМО, 2001. — С. 35. — ISBN 5-94057-014-3.

Література[ред.ред. код]