Теорема Діріхле про оборотні елементи

Теорема Діріхле про оборотні елементи — теорема алгебраїчної теорії чисел, що описує підгрупу оборотних елементів (які також називаються одиницями) кільця алгебраїчних цілих чисел ${\mathcal {O}}_{K}$ числового поля $K$.

Формулювання

Нехай $K$ — числове поле (тобто скінченне розширення $\mathbb {Q}$), а ${\mathcal {O}}_{K}$ — його кільце цілих чисел і ${\mathcal {O}}_{K}^{*}$ — група його оборотних елементів. Тоді ${\mathcal {O}}_{K}^{*}$ є ізоморфною скінченнопородженій абелевій групі $\mathbb {Z} ^{d}\times G$, де $G$ — циклічна група коренів одиниці, що належать $K$, а $d=r+s-1$, де $r$ — число різних вкладень $K$ в поле дійсних чисел $\mathbb {R}$, а $s$ — число пар комплексно-спряжених різних вкладень в $\mathbb {C}$, які не є дійсними.

Наслідки і узагальнення

Зокрема, оскільки для розширення степеня n, $r+2s=n$, то $d\leq n-1$, і рівність виконується тоді і тільки тоді, коли всі вкладення $K$ в $\mathbb {C}$ є вкладення в поле дійсних чисел.

Існування нетривіальних цілих розв'язків рівняння Пелля $x^{2}-my^{2}=1$ випливає з теореми, застосованої до $\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})$ - квадратичного розширенню $\mathbb {Q}$.

Випадок групи оборотних елементів максимального рангу пов'язаний з багатовимірними ланцюговими дробами.

Доведення

Впорядкуємо всі вкладення числового поля $K$ в поле комплексних чисел $\mathbb {C}$ так, що перші $r$ вкладень $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{r}$ є вкладеннями у поле дійсних чисел, а $\sigma _{i}$ і $\sigma _{i+s}$ для всіх $r+1\leqslant i\leqslant r+s$ є парами комплексно спряжених вкладень, що не є дійсними. Також введемо вкладення $K\to \mathbb {R} ^{n}$ задане як $\alpha \to (\sigma _{1}(\alpha ),\ldots ,\sigma _{r}(\alpha ),\Re (\sigma _{r+1}(\alpha )),\ldots ,\Re (\sigma _{r+s}(\alpha )),\Im (\sigma _{r+1}(\alpha )),\ldots ,\Im (\sigma _{r+s}(\alpha )))$.

Відображення $L:{\mathcal {O}}_{K}^{*}\to \mathbb {R} ^{r+s}$ задане як $\alpha \mapsto {\big (}\log |\sigma _{1}(\alpha )|,\cdots ,\log |\sigma _{r}(\alpha )|,2\log |\sigma _{r+1}(\alpha )|,\ldots ,2\log |\sigma _{r+s}(\alpha )|{\big )}$ є гомоморфізмом із ${\mathcal {O}}_{K}^{*}$ у гіперплощину $Y_{1}+\ldots +Y_{r+s}=0$ в $\mathbb {R} ^{r+s}$ (позначимо її $Y$). Його ядро складається з елементів ${\mathcal {O}}_{K}^{*}$ для яких $|\sigma (\alpha )|=1$ для всіх вкладень $\sigma$. У стандартній топології на $K$ ядро є обмеженою підмножиною дискретної множини ${\mathcal {O}}_{K}^{*}$ і тому є скінченною підгрупою. Якщо її порядок є рівним $N$ то кожен його елемент є коренем одиниці N-ого степеня. То ядро є циклічною групою оскільки воно є підгрупою циклічної групи всіх коренів з одиниці степеня $N$.

Залишається довести, що образ відображення $L$ є ґраткою у гіперплощині $Y$. Нехай ${\mathcal {N}}$ — обмежений окіл початку координат у гіперплощині $Y$. Для точок ${\mathcal {O}}_{K}^{*}$ що відображаються у ${\mathcal {N}}$ всі $|\sigma (\alpha )|$ є обмеженими, тож у стандартній топології вони належать перетину ${\mathcal {O}}_{K}^{*}$ і деякої обмеженої множини. Тому їх кількість є скінченною. Як наслідок образ відображення $L$ є дискретною підмножиною у гіперплощині $Y$.

Необхідно довести, що лінійною оболонкою цього образу є вся гіперплощина $Y$. Для доведення цього факту достатньо довести твердження:

Для довільних дійсних чисел $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r+s}$ що не є всі рівними між собою, існує елемент $\nu \in {\mathcal {O}}_{K}^{*}$ для якого $f(\nu )=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\log |\sigma _{i}(\nu )|+2\sum _{i=r+1}^{r+s}\lambda _{i}\log |\sigma _{i}(\nu )|\neq 0$.

Нехай $\rho _{1},\ldots ,\rho _{r+s}$ — додатні дійсні числа, такі що $\prod _{i=1}^{r+s}\rho _{i}=\left({\frac {2}{\pi }}\right){\sqrt {|d|}}=A$, де d є дискримінантом поля K. Множина $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ задана нерівностями $X_{i}\leqslant \rho _{i}$, для $1\leqslant i\leqslant r$, i $|X_{i}^{2}+X_{i+s}^{2}|\leqslant \rho _{i}$ для $r<i\leqslant r+s$ є обмеженою, замкнутою, опуклою і симетричною щодо початку координат; її об'єм є рівним $2^{r+s}{\sqrt {|d|}}$. Згідно теореми Мінковського існує ненульове ціле число у полі $K$ для якого $|\sigma _{i}(\alpha )|\leqslant \rho _{i}$ для всіх вкладень. Тоді також з означень $\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }(\alpha )\leqslant A$.

Оскільки також $\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }(\alpha )\geqslant 1$, то

$|\sigma _{i}(\alpha )|=\operatorname {Norm} _{K/\mathbb {Q} }(\alpha )\cdot \prod _{j\neq i}|\sigma _{i}(\alpha )|^{-1}\geqslant \prod _{j\neq i}\rho _{j}=A^{-1}\rho _{i},\ \ \ 1\leqslant i\leqslant r$

і подібним чином

$|\sigma _{i}(\alpha )|^{2}=|X_{i}^{2}+X_{i+s}^{2}|\geqslant A^{-1}\rho _{i}\ \ \ r<i\leqslant r+s$.

Зважаючи на ці обмеження $0\leqslant \log \rho _{i}-\log |\sigma _{i}(\alpha )|\leqslant \log A,\ 1\leqslant i\leqslant r$і $0\leqslant \log \rho _{i}-2\log |\sigma _{i}(\alpha )|\leqslant \log A,\ r<i\leqslant r+s$. І зокрема $\sum _{i=1}^{r+s}\lambda _{i}\log \rho _{i}-f(\alpha )\leqslant (\log A)\sum |\lambda _{i}|$.

Назвемо $\alpha _{l},\alpha _{2}\in {\mathcal {O}}_{K}$ еквівалентними якщо $\alpha _{l}/\alpha _{2}$ є елементом ${\mathcal {O}}_{K}^{*}$. Елементи у класі еквівалентності породжують певний головний ідеал і з точністю до знаку їхня норма є нормою цього головного ідеалу. Тож існує лише скінченна кількість класів еквівалентності норми яких є обмеженими $A$. Нехай $\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}$ — представники цих класів. Введений вище елемент $\alpha$ лежить в одному з таких класів, тож $\nu =\alpha /\beta _{i}$, є оборотним елементом для деякого i.

Але $f(\nu )=f(\alpha )-f(\beta _{i})$ і це відрізняється від $\sum _{i=1}^{r+s}\lambda _{i}\log \rho _{i}$ щонайбільше на $B=|f(\beta _{i})|+(\log A)\sum |\lambda _{i}|$, що не залежить від чисел $\rho$. Можна обрати $\rho$ так щоб на додачу до попередніх умов також $|\sum _{i=1}^{r+s}\lambda _{i}\log \rho _{i}|>B$. Тоді $f(\nu )\neq 0.$

Література

• Дрозд Ю. А. Теорія алгебричних чисел : навч. посіб. для студ. мех.-мат. ф-ту. — К. : Редакційно- видавничий центр "Київський ун-т", 1997. — 82 с. — ISBN 966-594-019-8.
• Swinnerton-Dyer, H.P.F. (2001), A brief guide to algebraic number theory, London Mathematical Society Student Texts, т. 50, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00423-7, MR 1826558