Теорема Хопфа — Рінова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Хопфа — Рінова стверджує, що для лінійно зв'язного ріманового многовиду наступні твердження еквівалентні:

  • — є повним метричним простором;
  • Для деякої точки експоненційне відображення визначено для всіх векторів у (де дотичний простір до в точці ); Простори з такими властивостями називаються геодезично повними;
  • Кожна множина, обмежена і замкнута в , є компактною.

Наслідки[ред.ред. код]

  • Будь-які дві точки p і q в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді можна з'єднати геодезичною лінією довжина якої рівна відстані між p і q;
  • Будь-яка геодезична в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді є необмеженою, тобто визначена для всіх дійсних чисел.

Приклади[ред.ред. код]

  • Сфера , евклідовий простір і гіперболічний простір є геодезично повними;
  • Всі компактні звязані ріманові многовиди є геодезично повними;
  • Метричний простір з метрикою інкукованою звичайним скалярним добутком не є геодезично повним. Зокрема точки і не зв'язані жодною геодезичною лінією в .

Узагальнення[ред.ред. код]

  • Теорема Хопфа — Рінова вірна для просторів з внутрішньою метрикою, не обов'язково рімановою (наприклад, фінслерових): якщо локально компактний повний метричний простір з внутрішньою метрикою, то будь-які дві точки простору можна з'єднати найкоротшою лінією.
  • Теорема Хопфа — Рінова не вірна в нескінченновимірних просторах зокрема дві точки скінченновимірного повного Гільбертового многовиду можуть не бути сполученими жодною геодезичною лінією [1]. Твердження теореми також неправильне для псевдоріманових многовидів зокрема многовидів Лоренца [2].

Примітки[ред.ред. код]

  1. Atkin, C. J. (1975). The Hopf-Rinow theorem is false in infinite dimensions. The Bulletin of the London Mathematical Society 7 (3): 261–266. MR 0400283. doi:10.1112 / blms / 7.3.261. .
  2. O'Neill, Barrett (+1983). [http: //books.google.com/books? id = CGk1eRSjFIIC & pg = PA193 Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity]. Pure and Applied Mathematics 103. Academic Press. с. 193. ISBN 9780080570570. .

Література[ред.ред. код]

  • Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
  • Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
  • Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
  • Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.