Теорема Хопфа — Рінова

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Хопфа — Рінова стверджує, що для лінійно зв'язного ріманового многовиду наступні твердження еквівалентні:

  • — є повним метричним простором;
  • Для деякої точки експоненційне відображення визначено для всіх векторів у (де дотичний простір до в точці ); Простори з такими властивостями називаються геодезично повними;
  • Кожна множина, обмежена і замкнута в , є компактною.

Наслідки[ред. | ред. код]

  • Будь-які дві точки p і q в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді можна з'єднати геодезичною лінією довжина якої рівна відстані між p і q;
  • Будь-яка геодезична в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді є необмеженою, тобто визначена для всіх дійсних чисел.

Приклади[ред. | ред. код]

  • Сфера , евклідовий простір і гіперболічний простір є геодезично повними;
  • Всі компактні зв'язані ріманові многовиди є геодезично повними;
  • Метричний простір з метрикою інкукованою звичайним скалярним добутком не є геодезично повним. Зокрема точки і не зв'язані жодною геодезичною лінією в .

Узагальнення[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Atkin, C. J. (1975). The Hopf-Rinow theorem is false in infinite dimensions. The Bulletin of the London Mathematical Society 7 (3): 261–266. MR 0400283. doi:10.1112 / blms / 7.3.261. .
  2. O'Neill, Barrett (+1983). Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity. Pure and Applied Mathematics 103. Academic Press. с. 193. ISBN 9780080570570. .

Література[ред. | ред. код]

  • Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
  • Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
  • Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
  • Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.