Розподіл Бернуллі

Бернуллі

Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$1>p>0,p\in \mathbb {R}$$1>p>0,p\in \mathbb {R}$
Носій функції	$k=\{0,1\}\,$$k=\{0,1\}\,$
Розподіл ймовірностей	${\begin{matrix}q=(1-p)&{\mbox{for }}k=0\\p~~&{\mbox{for }}k=1\end{matrix}}$${\begin{matrix}q=(1-p)&{\mbox{for }}k=0\\p~~&{\mbox{for }}k=1\end{matrix}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}$${\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<0\\q&{\mbox{for }}0\leq k<1\\1&{\mbox{for }}k\geq 1\end{matrix}}$
Середнє	$p\,$$p\,$
Медіана	N/A
Мода	${\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}$${\begin{matrix}0&{\mbox{if }}q>p\\0,1&{\mbox{if }}q=p\\1&{\mbox{if }}q<p\end{matrix}}$
Дисперсія	$pq\,$$pq\,$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}$${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}$
Ентропія	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
Твірна функція моментів (mgf)	$q+pe^{t}\,$$q+pe^{t}\,$
Характеристична функція	$q+pe^{it}\,$$q+pe^{it}\,$

Розподіл Бернуллі — розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини названий на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі.

Визначення

Дискретна випадкова величина ξ називається такою, що має розподіл Бернуллі, якщо її закон розподілу має вигляд: $\xi ={\begin{pmatrix}0&1\\q&p\end{pmatrix}}$$\xi ={\begin{pmatrix}0&1\\q&p\end{pmatrix}}$, де p — параметр, що визначає розподіл, $p\in [0,1],q=1-p$$p\in [0,1],q=1-p$.

Позначається ${\mathcal {L}}(\xi )=B(p)$${\mathcal {L}}(\xi )=B(p)$.

Функція розподілу має вигляд:

$F_{\xi }(x)={\begin{cases}0,&x<0\\q,&x\in [0,1)\\1,&x\geq 1\end{cases}}$$F_{\xi }(x)={\begin{cases}0,&x<0\\q,&x\in [0,1)\\1,&x\geq 1\end{cases}}$.

Числові характеристики

Математичне сподівання:

$M\xi =P(X=1)\cdot 1+P(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p$$M\xi =P(X=1)\cdot 1+P(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p$.

Дисперсія:

$D\xi =M\xi ^{2}-(M\xi )^{2}=p-p^{2}=pq\,$$D\xi =M\xi ^{2}-(M\xi )^{2}=p-p^{2}=pq\,$.

Зв'язок з іншими розподілами

Нехай незалежні випадкові величини $\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}$$\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}$ мають розподіл Бернуллі з параметром p, тобто ${\mathcal {L}}(\xi _{i})=B(p),i={\overline {1,n}}$${\mathcal {L}}(\xi _{i})=B(p),i={\overline {1,n}}$, тоді випадкова величина $\xi =\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}$$\xi =\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}$ має біноміальний розподіл з параметрами p, n, тобто ${\mathcal {L}}(\xi )=Bi(n,p)$${\mathcal {L}}(\xi )=Bi(n,p)$.

Див. також

• Біноміальний розподіл
• Бернуллі Якоб
• Закон розподілу
• Розподіл ймовірностей
• Схема Бернуллі
• Функція розподілу ймовірностей