| Ця стаття потребує істотної переробки. Можливо, її необхідно доповнити, переписати або вікіфікувати. Пояснення причин та обговорення — на сторінці Вікіпедія: Статті, що необхідно поліпшити.
Тому, хто додав шаблон: зважте на те, щоб повідомити основних авторів статті про необхідність поліпшення, додавши до їхньої сторінки обговорення такий текст: {{subst:поліпшити автору|Гіпергеометричний розподіл|16 квітня 2022}} ~~~~, а також не забудьте описати причину номінації на підсторінці Вікіпедія:Статті, що необхідно поліпшити за відповідний день. |
Гіпергеометричний розподіл |
---|
Функція ймовірностей  |
Функція розподілу ймовірностей  |
Параметри |
 |
---|
Носій функції |
 |
---|
Розподіл імовірностей |
 |
---|
Середнє |
 |
---|
Мода |
 |
---|
Дисперсія |
 |
---|
Коефіцієнт асиметрії |
![{\displaystyle {\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450c7c5a3a3b8ae698af5ee0cd3d225a1fa89d68) |
---|
Коефіцієнт ексцесу |
![{\displaystyle +\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392caa8cb41c9b7fc33033198d6506e35730f311) |
---|
Твірна функція моментів (mgf) |
 |
---|
Характеристична функція |
 |
Гіпергеометричний розподіл в теорії імовірності моделює кількість успішних вибірок без повернення зі скінченної сукупності.
|
витягнуті |
не витягнуті |
всього
|
з дефектом
|
k |
D − k |
D
|
без дефекта
|
n − k |
N + k − n − D |
N − D
|
всього
|
n |
N − n |
N
|
Типовий приклад представлений у попередній таблиці: дано сукупність N об'єктів, з яких D мають дефект. Гіпергеометричний розподіл описує ймовірність того, що у вибірці з n різних об'єктів, витягнутих із сукупності, рівно k об'єктів є бракованими.
Загалом, якщо випадкова величина X відповідає гіпергеометричному розподілу з параметрами N, D та n, то ймовірність отримання рівно k успіхів визначається формулою:

Ця ймовірність додатна, коли k лежить на проміжку між max{ 0, D + n − N } та min{ n, D }.
Наведену формулу можна трактувати так: існує
способів заповнити залишок вибірки (без повернення). Є
способів вибрати k бракованих об'єктів та
способів заповнити залишок вибірки об'єктами без дефектів.
У разі, коли розмір популяції є більшим, ніж розмір вибірки, гіпергеометричний розподіл добре апроксимується біноміальним розподілом з параметрами n (кількість випробувань) та p = D / N (ймовірність успіху в одному випробуванні).
Нехай є скінченна сукупність, яка складається з
елементів. Припустимо, що
із них мають потрібну нам властивість. Випадковим чином із загальної сукупності вибирається група з
елементів. Нехай
— випадкова величина, що дорівнює кількості вибраних елементів, які мають потрібну властивість. Тоді функція ймовірностей
має вигляд:
,
де
позначає біноміальний коефіцієнт. Пишемо:
.
- Математичне сподівання
,
- Дисперсія
.
Приклади застосування[ред. | ред. код]
Класичним застосуванням гіпергеометричного розподілу є вибірка без повернення. Розглянемо урну з двома типами куль: чорними і білими. Визначимо витягнення білої кульки як успіх, а чорної як невдачу. Якщо N є числом всіх кульок в урні, а D - число білих кульок, то N − D число чорних кульок.
Тепер припустимо, що в урні знаходиться 5 білих і 45 чорних кульок. Перебуваючи біля урни, ви закриваєте очі й витягуєте 10 кульок. Яка ймовірність того, що витягнуто рівно 4 білі кульки?
Задача описується в наступній таблиці:
|
витягнуті |
не витягнуті |
завжди |
білі кульки |
4 (k) |
1 = 5 − 4 (D − k) |
5 (D) |
чорні кульки |
6 = 10 − 4 (n − k) |
39 = 50 + 4 − 10 − 5 (N + k − n − D) |
45 (N − D) |
всього |
10 (n) |
40 (N − n) |
50 (N) |
Ймовірність
того, що будуть витягнені рівно x білих кульок (= кількості успіхів), може бути обчисленою за формулою:

Звідси в нашому прикладі (x = 4), отримаємо:

Таким чином, ймовірність витягнути рівно 4 білі кульки досить мала (приблизно 0.004). Це означає , що при проведенні експеримента (витягненні 10 кульок з урни з 50 кульками без повернення) 1000 раз ми розраховуємо отримати вищезазначений результат 4 рази.
Що стосується ймовірності витягнути 5 білих кульок, то інтуїтивно зрозуміло, що вона буде менша, ніж імовірність витягнути 4 білі кульки. Давайте підрахуємо цю ймовірність.
|
витягнуті |
не витягнуті |
всього |
білі кульки |
5 (k) |
0 = 5 − 5 (D − k) |
5 (D) |
чорні кульки |
5 = 10 − 5 (n − k) |
40 = 50 + 5 − 10 − 5 (N + k − n − D) |
45 (N − D) |
всього |
10 (n) |
40 (N − n) |
50 (N) |
Таким чином, ми отримуємо ймовірність:


Ця симетричність стає зрозумілою, коли перефарбувати білі кульки в чорні й навпаки. Таким чином, білі й чорні кульки просто міняються ролями.

Ця симетричність стає зрозумілою, коли замість виймання ви позначаєте кульки, які б вийняли. Обидва вирази дають ймовірність того, що рівно
кульок чорні й позначені як вийняті.
Зв'язок з іншими розподілами[ред. | ред. код]
Нехай
та
.
- Якщо
, то
має розподіл Бернуллі з параметром
.
- Нехай випадкова величина
має біноміальний розподіл з параметрами
та
; вона моделює кількість успіхів в аналогічній задачі з поверненням. Коли
та
досить великі порівняно з
, а також
не є близьким до 0 чи 1 числом, тоді
та
мають подібні розподіли, тобто
.
- Якщо
велике,
та
великі порівняно з
, а
не є близьким до 0 чи 1, то
де
- функція розподілу стандартного нормального розподілу.
|
- Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
- Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкорегований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
- (англ.) Google's machine translation is a useful starting point for translations, but translators must revise errors as necessary and confirm that the translation is accurate, rather than simply copy-pasting machine-translated text to the Ukrainian Wikipedia.
- Не перекладайте текст, який видається недостовірним або низької якості. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
- Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.
|
|
---|
| | | Дискретні одновимірні зі скінченним носієм |
|
---|
| Дискретні одновимірні з нескінченним носієм |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій |
|
---|
| Неперервні одновимірні з носієм змінного типу |
|
---|
| Змішані неперервно-дискретні одновимірні |
|
---|
| Багатовимірні (спільні) |
|
---|
| Напрямкові[en] |
|
---|
| Вироджені та сингулярні[en] |
|
---|
| Сімейства |
|
---|
|