Гармонічна функція

Функція $f:U\to \mathbb {R}$ визначена на $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ називається гармонічною в цій області, якщо f є двічі неперервно диференційовною і є розв’язком рівняння Лапласа:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0.$

Для позначення цього використовуються позначення $\textstyle \Delta f=0$ або $\nabla ^{2}f=0.$

Властивості

• Якщо D — скінченна область і гармонічна функція $f\in C^{1}({\bar {D}})$ тоді:

$\int _{S}{\frac {\partial f}{\partial \nu }}\,d\sigma =0.$

• Теорема про середнє значення: якщо f(x) — гармонічна функція у кулі B(x₀,r) радіуса r з центром $x_{0}$ і $f\in C^{1}({\bar {B}})$ то її значення в центрі кулі дорівнює середньому арифметичному її значень на сфері S(x₀,r), тобто

$u(x_{0})={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x_{0},r)}u\,dy$

де $\omega _{n}$ — об'єм одиничної кулі в $\mathbb {R} ^{n}$.

У припущенні неперервності f(x) ця властивість може бути прийнята як визначення гармонічної функції.

• Принцип екстремуму: якщо D — область в $\mathbb {R} ^{n}$, що не містить усередині точки $\infty ,$ f(x) — гармонічна функція у D, $f(x)\neq const$, то ні в якій точці $x_{0}\in D$ функція f(x) не може досягати локального екстремуму, тобто в будь-якому околі V(x₀) кожної точки $x_{0}\in D$ знайдеться точка $x^{*}\in V(x_{0})$, у якій $f(x^{*})>f(x_{0})$, і знайдеться точка $x^{*}\in V(x_{0})$, у якій $f(x^{*})<f(x_{0}).$

Якщо, крім того, і $x\in C({\bar {D}})$, то найбільше і найменше значення f(x) в замкнутій області ${\bar {D}}$ досягаються тільки в точках межі $\partial D$. Відповідно, якщо $|f(x)|\leq M$ на $\partial D$, то $|f(x)|\leq M$ на всій множині ${\bar {D}}$.

• Якщо f(x) — гармонічна функція у всьому просторі $\mathbb {R} ^{n},\,n\geq$ 2 обмежена зверху або знизу, то f(x)= const.(Теорема Ліувіля)

• Якщо f(x) — гармонічна функція у околі точки $x_{0}=((x_{1})_{0},\ldots ,(x_{n})_{0}),$ то f(x) розкладається в цьому околі у степеневий ряд за змінними $x_{1}-(x_{1})_{0},\ldots ,x_{n}-(x_{n})_{0},$ тобто довільна гармонічна функція є аналітичною функцією і має часткові похідні всіх порядків, які в свою чергу є гармонічними функціями.

• Властивість єдиності: якщо f(x) — гармонічна функція у області $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ і $f(x)\equiv 0$ в деякому n-вимірному околі довільної точки $x_{0}\in D$ то $f(x)\equiv 0$ в D.

Якщо f(x) — аналітична функція дійсних змінних у області $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ і якщо в деякому n-вимірному околі точки $x_{0}\in D$ функція f(x) є гармонічною то вона є гармонічною в усій області D.

• Принцип симетрії: Нехай межа $\partial D$ області $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ містить відкриту в площині x_n=0 множину G, і f(x) — гармонічна функція у D і f(x) = 0 і неперервна усюди на G. Якщо ${\hat {D}}$ — область, симетрична з D відносно гіперплощини x_n=0 тоді f(x) гармонійно продовжується в область $D\cup G\cup {\hat {D}}$ за формулою:

$f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=-f(x_{1},\ldots ,x_{n-1},-x_{n}),\quad (x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})\in {\hat {D}}.$

• Перша теорема Гарнака: якщо послідовність $\{f_{n}(x)\}$ гармонічних функцій у обмеженій області D, неперервних в замкнутій області ${\bar {D}}$, є рівномірно збіжною на межі $\partial D$, то вона є рівномірно збіжною у D, причому гранична функція $f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ є гармонічною функцією у D.

• Друга теорема Гарнака: якщо послідовність $\{f_{n}(x)\}$ гармонічних функцій в області D, є монотонною і збігається принаймні в одній точці $x_{0}\in D$, то вона збігається усюди в D і гранична функція $f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ є гармонічною.

Див. також

• Бігармонічна функція
• Голоморфна функція
• Плюрігармонічна функція
• Рівняння Лапласа
• Субгармонічна функція

Література

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
• Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950;
• Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;
• Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey. Harmonic Function Theory Springer, ISBN 978-0-387-95218-5