Умова Оре

У теорії кілець умовою Оре називається деяка властивість елементів некомутативного кільця при якій для кільця можна побудувати кільця часток із властивостями схожими до комутативного випадку.

Мотивація

У комутативній алгебрі, локалізація кільця є одним із найважливіших засобів дослідження. При локалізації елементи деякої множини $S$ кільця стають оборотними і можуть розглядатися як знаменники. Щоб така конструкція мала зміст необхідно лише щоб множина $S$ була мультиплікативною, містила 1 і не містила 0.

При спробі узагальнити цю конструкцію на випадок некомутативних кілець виникає кілька проблем. Хоча можна ввести абстрактні кільця в яких елементи $S$ будуть оборотними і які задовольняють деяку універсальну властивість аналогічну до комутативного випадку, але ці кільця загалом мають погані властивості і їх не просто задати. Навіть у випадку кілець без дільників нуля, наприклад, існують кільця які не можна вкласти у тіло, тобто у цьому випадку немає загальної конструкції аналогічної до поля часток.

Більш конкретно, якщо намагатися подібно до комутативного випадку формально розглядати вирази виду as⁻¹, то виникають проблеми із інтерпретацією добутку (as⁻¹)(bt⁻¹). Щоб можна було отримати змістовну конструкцію такого виду потрібно переписати добуток s⁻¹b як b₁s₁⁻¹. Якщо це можливо, то помноживши зліва на s і справа на s₁, отримаємо еквівалентну умову bs₁ = sb₁. Відповідно для довільних добутків потрібно для всіх b і s існування b₁ і s₁ із s₁ ≠ 0 і для яких as₁ = sa₁.

Норвезький математик Ойстен Оре у 1931 році ввів саме цей критерій і показав, що при цьому можна ввести кільця часток із хорошими математичними властивостями . Надалі ідеї Оре були узагальнені Кейзо Асано і іншими.

Означення

Нехай $R$ є довільним некомутативним кільцем. Нехай $S$ є множиною регулярних елементів (тобто елементів, що не є лівими чи правими дільниками нуля). Ця множина є мультиплікативною, не містить 0 і містить 1 (якщо R є кільцем з одиницею). У випадку кілець без дільників нуля $S=R-\lbrace 0\rbrace$.

Кільце $R$ задовольняє праву умову Оре, якщо для всіх елементів $s\in S,a\in R$ існують елементи $t\in S,r\in R$ для яких $at=sr$ або еквівалентно:

$aS\cap sR\neq \emptyset$.

Кільце у якому виконується права умова Оре називається правим кільцем Оре.

У випадку кілець без дільників нуля $R$ задовольняє праву умова Оре, якщо для всіх елементів $a,b\in R-\lbrace 0\rbrace$ виконується умова:

$aR\cap bR\neq \lbrace 0\rbrace$,

тобто $a$ і $b$ мають деяке спільне кратне справа окрім 0.

Еквівалентно можна ввести означення лівої умови Оре і лівого кільця Оре.

Кільця і тіла часток

Класи еквівалентності

Якщо кільце $R$ задовольняє праву умову Оре, то можна сформувати кільце правих часток подібно до того, як утворюється кільце часток для комутативного кільця. Елементами кільця часток будуть вирази виду

$a/s$ де $a\in R,s\in R\lbrace 0\rbrace$.

Дві «частки» $a/s$ і $a'/s'$ вважаються рівними якщо існують елементи $b,b'$ для яких $sb=s'b'\in S$ і $ab=a'b'$. (Формально, вводиться відношення еквівалентності на множині $R\times (R-\lbrace 0\rbrace )$, і $a/s$ позначає клас еквівалентності $(a,s)$.)

Арифметичні операції

Для введених «часток» можна ввести операції додавання і множення. А саме для $a/s$ і $b/t$ згідно умови Оре існують регулярні елементи $x,y\in S$ для яких $sx=ty.$ Тоді додавання задається як $a/s+b/t=(ax+by)/sx.$

Також для $a/s$ і $b/t$ згідно умови Оре існують $c\in R,d\in S$ для яких $sc=bd$ і множення можна ввести як $a/s\cdot b/t=ac/td.$

Введені операції додавання і віднімання є коректними, тобто не залежать від представників класів еквівалентності часток і від елементів $x,y\in S$ і $c\in R,d\in S$ із умов Оре.

Усі частки із операціями додавання і множення утворюють кільце, яке позначається $RS^{-1}$ або $Q_{cl}^{r}(R)$ і називається класичним правим кільцем часток.

Усі елементи $s/s,\;s\in S$ утворюють одну частку (належать одному класу еквівалентності). Цей клас є одиницею у кільці $RS^{-1}$.

Аналогічно можна ввести означення лівого кільця чи тіла часток. Варто зауважити, що кільце може задовольняти праву умову Оре і не задовольняти ліву і навпаки. Проте, якщо кільце є одночасно лівим і правим кільцем Оре (або просто кільцем Оре), тоді відповідні ліві і праві кільця часток є ізоморфними.

Канонічне вкладення у кільце часток

Для будь-якого $a\in R$ елементи $as/s,\;s\in S$ належать одному класу і визначається ін'єктивний гомоморфізм $\phi :a\mapsto as/s,$ що є вкладенням $R$ у $RS^{-1}$.

Кільця правих часток $RS^{-1}$ і ін'єктивний гомоморфізм кілець $\phi :R\rightarrow RS^{-1}$, задовольняють умови:

• Для всіх $s\in S$, $\phi (s)$ є оборотним елементом.
• Кожен елемент $RS^{-1}$ можна записати як $\phi (a)\phi (s)^{-1}$ для деяких $a\in R,s\in S$.

Теорема Оре

Теорема Оре: Для кільця $R$ існує вкладення $\phi :R\rightarrow RS^{-1}$ у кільце з одиницею $RS^{-1}$, що задовольняє дві вказані умови, якщо і тільки якщо $R$ є правим кільцем Оре.

Тіло часток

Якщо $R$ є кільцем без дільників нуля, то його кільце правих часток $Q^{r}(R)$ буде тілом і ця конструкція узагальнює поле часток для комутативних областей цілісності.

До того ж виконується універсальна властивість

Якщо $\alpha :R\rightarrow R'$ є гомоморфізмом кілець для якого $\alpha (a)$ для всіх $a\neq 0$ є оборотним елементом у $R'$ тоді $\alpha$ однозначно продовжується до гомоморфізму ${\hat {\alpha }}:Q^{r}(R)\rightarrow R'.$

Властивості і приклади

• Кожне (ліве чи праве) кільце Нетер без дільників нуля задовольняє (ліву/праву) умову Оре.
• Кільце без дільників нуля є (правим/лівим) кільцем Оре якщо і тільки якщо воно є рівномірним (лівим/правим) модулем над собою, тобто перетин двох ненульових підмодулів завжди буде ненульовим підмодулем.
• Кільце цілих кватерніонів є кільцем Оре і його тілом часток є тіло раціональних кватерніонів.
• Довільне комутативне кільце є кільцем Оре і звичайна локалізація є кільцем часток.
• Нехай $k$ — поле, $k[x]$— кільце многочленів від змінної $x$ і $k(x)$— кільце раціональних функцій над $k$ від змінної $x$. Тоді кільце

$R={\begin{pmatrix}k&k[x]\\0&k[x]\end{pmatrix}}$

є правим кільцем Оре із кільцем правих часток

$R={\begin{pmatrix}k&k(x)\\0&k(x)\end{pmatrix}}$.

Проте це кільце не є лівим кільцем Оре оскільки

$S\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cap R\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&x\end{pmatrix}}=\emptyset$

тобто ліва умова Оре порушується.

Узагальнення

Означення кільця (правих) часток $RS^{-1}$ можна модифікувати для більш загальних множин $S$ (замість «класичної» множини регулярних елементів кільця $R$). В загальному випадку проте гомоморфізм $\phi$ може не бути ін'єктивним. Натомість виконується умова:

ker $\phi =\lbrace a\in R:\exists \;s\in S\;\;as=0\rbrace$.

Кільце (правих) часток щодо множини $S$ можна побудувати якщо і тільки якщо $S$ задовольняє властивості:

• Для всіх $s\in S,a\in R$ існують елементи $t\in S,r\in R$, для яких $at=sr$ , (узагальнення умови Оре для $S$.)
• Якщо для $a\in R$ існує елемент $s\in S$ для якого $sa=0$, то існує також $s'\in S$ із властивістю $as'=0$.

Див. також

• Локалізація кільця
• Повне кільце часток
• Поле часток

Література

• A. V. Jategaonkar (1986), Localization in Noetherian rings, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 98, Cambridge University Press, ISBN 9780521317139
• Stenström, Bo (1971), Rings and modules of quotients, Lecture Notes in Mathematics, т. 237, Berlin: Springer-Verlag, с. vii+136, doi:10.1007/BFb0059904, ISBN 978-3-540-05690-4, MR 0325663, Zbl 0229.16003