Умова Оре
У теорії кілець умовою Оре називається деяка властивість елементів некомутативного кільця при якій для кільця можна побудувати кільця часток із властивостями схожими до комутативного випадку.
Мотивація[ред. | ред. код]
У комутативній алгебрі, локалізація кільця є одним із найважливіших засобів дослідження. При локалізації елементи деякої множини кільця стають оборотними і можуть розглядатися як знаменники. Щоб така конструкція мала зміст необхідно лише щоб множина була мультиплікативною, містила 1 і не містила 0.
При спробі узагальнити цю конструкцію на випадок некомутативних кілець виникає кілька проблем. Хоча можна ввести абстрактні кільця в яких елементи будуть оборотними і які задовольняють деяку універсальну властивість аналогічну до комутативного випадку, але ці кільця загалом мають погані властивості і їх не просто задати. Навіть у випадку кілець без дільників нуля, наприклад, існують кільця які не можна вкласти у тіло, тобто у цьому випадку немає загальної конструкції аналогічної до поля часток.
Більш конкретно, якщо намагатися подібно до комутативного випадку формально розглядати вирази виду as−1, то виникають проблеми із інтерпретацією добутку (as−1)(bt−1). Щоб можна було отримати змістовну конструкцію такого виду потрібно переписати добуток s−1b як b1s1−1. Якщо це можливо, то помноживши зліва на s і справа на s1, отримаємо еквівалентну умову bs1 = sb1. Відповідно для довільних добутків потрібно для всіх b і s існування b1 і s1 із s1 ≠ 0 і для яких as1 = sa1.
Норвезький математик Ойстен Оре у 1931 році ввів саме цей критерій і показав, що при цьому можна ввести кільця часток із хорошими математичними властивостями [1]. Надалі ідеї Оре були узагальнені Кейзо Асано [2] і іншими.
Означення[ред. | ред. код]
Нехай є довільним некомутативним кільцем. Нехай є множиною регулярних елементів (тобто елементів, що не є лівими чи правими дільниками нуля). Ця множина є мультиплікативною, не містить 0 і містить 1 (якщо R є кільцем з одиницею). У випадку кілець без дільників нуля .
Кільце задовольняє праву умову Оре, якщо для всіх елементів існують елементи для яких або еквівалентно:
- .
Кільце у якому виконується права умова Оре називається правим кільцем Оре.
У випадку кілець без дільників нуля задовольняє праву умова Оре, якщо для всіх елементів виконується умова:
- ,
тобто і мають деяке спільне кратне справа окрім 0.
Еквівалентно можна ввести означення лівої умови Оре і лівого кільця Оре.
Кільця і тіла часток[ред. | ред. код]
Класи еквівалентності[ред. | ред. код]
Якщо кільце задовольняє праву умову Оре, то можна сформувати кільце правих часток подібно до того, як утворюється кільце часток для комутативного кільця. Елементами кільця часток будуть вирази виду
- де .
Дві «частки» і вважаються рівними якщо існують елементи для яких і . (Формально, вводиться відношення еквівалентності на множині , і позначає клас еквівалентності .)
Арифметичні операції[ред. | ред. код]
Для введених «часток» можна ввести операції додавання і множення. А саме для і згідно умови Оре існують регулярні елементи для яких Тоді додавання задається як
Також для і згідно умови Оре існують для яких і множення можна ввести як
Введені операції додавання і віднімання є коректними, тобто не залежать від представників класів еквівалентності часток і від елементів і із умов Оре.
Усі частки із операціями додавання і множення утворюють кільце, яке позначається або і називається класичним правим кільцем часток.
Усі елементи утворюють одну частку (належать одному класу еквівалентності). Цей клас є одиницею у кільці .
Аналогічно можна ввести означення лівого кільця чи тіла часток. Варто зауважити, що кільце може задовольняти праву умову Оре і не задовольняти ліву і навпаки. Проте, якщо кільце є одночасно лівим і правим кільцем Оре (або просто кільцем Оре), тоді відповідні ліві і праві кільця часток є ізоморфними.
Канонічне вкладення у кільце часток[ред. | ред. код]
Для будь-якого елементи належать одному класу і визначається ін'єктивний гомоморфізм що є вкладенням у .
Кільця правих часток і ін'єктивний гомоморфізм кілець , задовольняють умови:
- Для всіх , є оборотним елементом.
- Кожен елемент можна записати як для деяких .
Теорема Оре[ред. | ред. код]
Теорема Оре: Для кільця існує вкладення у кільце з одиницею , що задовольняє дві вказані умови, якщо і тільки якщо є правим кільцем Оре.
Тіло часток[ред. | ред. код]
Якщо є кільцем без дільників нуля, то його кільце правих часток буде тілом і ця конструкція узагальнює поле часток для комутативних областей цілісності.
До того ж виконується універсальна властивість
- Якщо є гомоморфізмом кілець для якого для всіх є оборотним елементом у тоді однозначно продовжується до гомоморфізму
Властивості і приклади[ред. | ред. код]
- Кожне (ліве чи праве) кільце Нетер без дільників нуля задовольняє (ліву/праву) умову Оре.
- Кільце без дільників нуля є (правим/лівим) кільцем Оре якщо і тільки якщо воно є рівномірним (лівим/правим) модулем над собою, тобто перетин двох ненульових підмодулів завжди буде ненульовим підмодулем.
- Кільце цілих кватерніонів є кільцем Оре і його тілом часток є тіло раціональних кватерніонів.
- Довільне комутативне кільце є кільцем Оре і звичайна локалізація є кільцем часток.
- Нехай — поле, — кільце многочленів від змінної і — кільце раціональних функцій над від змінної . Тоді кільце
- є правим кільцем Оре із кільцем правих часток
- .
- Проте це кільце не є лівим кільцем Оре оскільки
- тобто ліва умова Оре порушується.
Узагальнення[ред. | ред. код]
Означення кільця (правих) часток можна модифікувати для більш загальних множин (замість «класичної» множини регулярних елементів кільця ). В загальному випадку проте гомоморфізм може не бути ін'єктивним. Натомість виконується умова:
- ker .
Кільце (правих) часток щодо множини можна побудувати якщо і тільки якщо задовольняє властивості:
- Для всіх існують елементи , для яких , (узагальнення умови Оре для .)
- Якщо для існує елемент для якого , то існує також із властивістю .
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Øystein Ore: Linear equations in non-commutative fields. In: Annals of Mathematics. 32, 1931, ISSN 0003-486X, S. 463–477.
- ↑ Keizo Asano: Über die Quotientenbildung von Schiefringen. In: Journal of the Mathematical Society of Japan. Vol. 1, No. 2, 1949, ISSN 0025-5645, S. 73–78, DOI:10.2969/jmsj/00120073.
Див. також[ред. | ред. код]
Література[ред. | ред. код]
- A. V. Jategaonkar (1986), Localization in Noetherian rings, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 98, Cambridge University Press, ISBN 9780521317139
- Stenström, Bo (1971), Rings and modules of quotients, Lecture Notes in Mathematics, т. 237, Berlin: Springer-Verlag, с. vii+136, doi:10.1007/BFb0059904, ISBN 978-3-540-05690-4, MR 0325663, Zbl 0229.16003