Теорема про розподіл простих чисел

Теорема про розподіл простих чисел — теорема аналітичної теорії чисел, що описує асимптотику розподілу простих чисел. А саме, вона стверджує, що кількість $\pi (n)$ простих чисел на відрізку від 1 до n зростає із зростанням n як $n/\ln n$, тобто

${\frac {\pi (n)}{n/\ln n}}\to 1,\quad n\to \infty .$

Інакше кажучи, це означає, що у випадково вибраного числа від 1 до n, для достатньо великих n, ймовірність виявитися простим приблизно рівна $1/\ln n$.

Також ця теорема може бути еквівалентним чином перефразована для опису поведінки $k$-го простого числа $p_{k}$: вона стверджує, що

$p_{k}\sim k\ln k,\quad k\to \infty$

(тут і далі запис $\ f\sim g$ означає $f/g\to 1$).

Історія

Ґрунтуючись на таблицях простих чисел, складених Фелкелем і Вегою, Лежандр припустив в 1796 році, що функція $\pi (x)$ може бути наближена виразом $x/(\ln(x)-B)$, де $B=1.08...$ — константа, близька до $1$. Гаус, розглядаючи те ж питання і використовуючи доступні йому результати обчислень і деякі евристичні міркування розглянув іншу функцію — інтегральний логарифм $\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln x}}\,dx$, проте не став публікувати цього твердження. Обидва наближення, як Лежандра, так і Гауса, приводять до однієї і тієї ж асимптотичної еквівалентності функцій $\pi (x)$ і $x/\ln(x)$, вказаної вище, хоча наближення Гауса і виявляється істотно кращим, якщо при оцінці помилки розглядати різницю функцій замість їх відношення.

У двох своїх роботах, 1848 і 1850 роки, Чебишев доводить, що верхня M і нижня m границі відношення

${\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}\qquad (*)$

задовільняють нерівності $0.92129\leqslant m\leqslant M\leqslant 1.10555$, а також, що якщо границя відношення (*) існує, то вона рівна 1.

У 1859 році з'являється робота Рімана, що розглядає (введену Ейлером як функцію дійсного аргумента) $\zeta$-функцію в комплексній області, і що пов'язує її поведінку з розподілом простих чисел. Розвиваючи ідеї цієї роботи, в 1896 році Адамар і Валле-Пуссен одночасно і незалежно доводять теорему про розподіл простих чисел.

Нарешті, в 1949 році з'являється доведення Ердеша-Сельберга, що не використовує понять комплексного аналізу.

Загальний хід доказу

Переформулювання в термінах псі-функції Чебишева

Загальним початковим етапом міркувань є переформулювання твердження за допомогою псі-функції Чебишева, що визначається як

$\psi (x)=\sum _{p^{k}\leqslant x}\log p\qquad \qquad (*)$

іншими словами, псі-функція Чебишева це сума функції фон Мангольдта:

$\psi (x)=\sum _{n\leqslant x}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\,k\geqslant 1,\quad p\,{\text{is a prime}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

А саме, виявляється, що асимптотичний закон розподілу простих чисел рівносильний тому, що

$\psi (x)\sim x\quad x\to \infty .$

Це твердження є вірним тому, що логарифм «майже сталий» на більшій частині відрізка $[1,n]$, а внесок квадратів, кубів, і т. д. в суму (*) є малим; тому практично всі логарифми $\ln p$ приблизно рівні $\ln x$, і функція $\psi (x)$ асимптотично рівна $\pi (x)\cdot \ln x$.

Класичні міркування: перехід до дзета-функції Рімана

Як випливає з тотожності Ейлера

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1}}-p^{-s}$

ряд Діріхле, що відповідає функції фон Мангольдта, рівний мінус логарифмічній похідній дзета-функції:

$\sum _{n}\Lambda (n)n^{-s}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}.$

Крім того, інтеграл по вертикальній прямій, що знаходиться праворуч від 0, від функції $a^{s}/s$ рівний $2\pi i$ при $a>1$ і 0 при $0<a<1$. Тому, множення правої і лівої частини на ${\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s$ і інтегрування по вертикальній прямій по $ds$ залишає в лівій частині суму $\Lambda (n)$ з $n\leqslant x$. З іншого боку, застосування теореми про лишки дозволяє записати ліву частину у вигляді суми лишків; кожному нулю функції дзети відповідає полюс першого порядку її логарифмічної похідної, з лишком, рівним 1, а полюсу першого порядку в точці $s=1$ — полюс першого порядку з лишком, рівним $(-1)$.

Строга реалізація цієї програми дозволяє одержати явну формулу Рімана:

$\psi (x)=x-\sum _{\rho :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<Re(\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (**)$

де сума обчислюється по нулях $\rho$ дзета-функції, що лежать в смузі $0<Re(s)<1$, доданок $-\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}$ відповідає полюсу $x^{s}/s$ у нулі, а доданок $-\log(1-x^{-2})/2$ — так званим «тривіальним» нулям дзета-функції $s=-2,-4,-6,\dots$.

Відсутність нетривіальних нулів дзета-функції поза критичною смугою і спричиняє еквівалентність $\psi (x)\sim x\$ (сума у формулі (**) зростатиме повільніше, ніж x).

Елементарне доведення: завершення Ердеша-Сельберга

Основна теорема арифметики, що записується після логарифмування як

$\ln n=\sum _{p,k:\,p^{k}|n}\ln p$

таким чином формулюється в термінах арифметичних функцій і згортки Діріхле як

$\ln =\Lambda *\mathbf {1} ,$

де $\ln$ і $\mathbf {1}$ — арифметичні функції, логарифм аргументу і тотожна одиниця відповідно.

Формула обертання Мебіуса дозволяє перенести $\mathbf {1}$ у праву частину:

$\Lambda =\ln *\mu ,\qquad \qquad (**)$

де $\mu$ — функція Мебіуса.

Сума лівої частини (**) — шукана функція $\psi$. У правій частині, застосування формули гіперболи Діріхле дозволяє звести суму згортки до суми $\sum _{k}L(n/k)\mu (k),$ де $L$ — сума логарифма. Застосування формули Ейлера — Маклорена дозволяє записати $L(n)$ як

$L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln n+\gamma +o(1),$

де $\gamma$ — стала Ейлера. Виділяючи з цього виразу доданки, що мають вигляд $\sum _{k}F(n/k)$ для відповідним чином підібраної функції F (а саме $F(x)=x-\gamma -1$), і позначаючи через R залишок, маємо через обертання Мебіуса

$\Lambda =F+\sum _{k}R(n/k)\mu (k).$

Оскільки $F(x)\sim x,$ залишається перевірити, що другий доданок має вигляд $o(x)$. Застосування леми Аскера дозволяє звести цю задачу до перевірки твердження $M(x)=o(x),$ де $M(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)$ — сума функції Мебіуса.

Малість сум функції Мебіуса на підпослідовності випливає з формули обертання, застосованої до функції $1/n$.

Далі, функція Мебіуса в алгебрі арифметичних функцій (з мультиплікативною операцією-згорткою) задовольняє «диференціальному рівнянню» першого порядку

$\mu '=-\mu *\Lambda ,$

де $f'(n)=f(n)\cdot \ln n$ — диференціювання в цій алгебрі (перехід до рядів Діріхле перетворює його на звичайне диференціювання функції). Тому вона задовольняє і рівнянню другого порядку

$\mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').$

Перехід до середнього у цьому рівнянні дозволяє те, що асимптотика суми функції $\Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda$ оцінюється краще, ніж асимптотика сум $\Lambda$, дозволяє оцінювати відношення M(x) /x через середні значення такого відношення. Така оцінка разом з «малістю за послідовністю» і дозволяє одержати шукану оцінку $M(x)=o(x)$.

Див. також

• Стала простих чисел

Посилання

• Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Zagier, Don (1997). Newman's short proof of the prime number theorem (PDF). American Mathematical Monthly. 104 (8): 705—708. doi:10.2307/2975232. JSTOR 2975232. (англ.)
• Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta (s)$ et ses conséquences arithmétiques. [1], Bull. Soc. Math. France, 24(1896), 199—220.
• Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
• П. Л. Чебышев, «Об определении числа простых чисел, меньших данной величины», 1848
• П. Л. Чебышев, «О простых числах», 1850
• Erdős, P. «Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers.» Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
• Selberg, A. «An Elementary Proof of the Prime Number Theorem», Ann. Math. 50, 305—313, 1949.
• А. Г. Постников, Н. П. Романов, «Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел», УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87