Теорема Гопфа — Рінова

Перевірена версія цієї сторінки, затверджена 24 жовтня 2021, заснована на цій версії.

Теорема Хопфа — Рінова стверджує, що для лінійно зв'язного ріманового многовиду $M$ наступні твердження еквівалентні:

$M$ — є повним метричним простором;
Для деякої точки $p\in M$ експоненційне відображення $\exp _{p}:T_{p}\to M$ визначено для всіх векторів у $T_{p}$ (де $T_{p}$ — дотичний простір до $M$ в точці $p$ ); Простори з такими властивостями називаються геодезично повними;
Кожна множина, обмежена і замкнута в $M$ , є компактною.

Наслідки

Будь-які дві точки p і q в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді можна з'єднати геодезичною лінією довжина якої рівна відстані між p і q;
Будь-яка геодезична в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді є необмеженою, тобто визначена для всіх дійсних чисел.

Сфера $\mathbb {S} ^{n}$ , евклідовий простір $\mathbb {R} ^{n}$ і гіперболічний простір $\mathbb {H} ^{n}$ є геодезично повними;
Всі компактні зв'язані ріманові многовиди є геодезично повними;
Метричний простір $M:=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$ з метрикою інкукованою звичайним скалярним добутком не є геодезично повним. Зокрема точки $p=(x_{1},x_{2})\in M$ і $q=(-x_{1},-x_{2})\in M$ не зв'язані жодною геодезичною лінією в $M$ .

Теорема Хопфа — Рінова вірна для просторів з внутрішньою метрикою, не обов'язково рімановою (наприклад, фінслерових): якщо $(X,\rho )$ — локально компактний повний метричний простір з внутрішньою метрикою, то будь-які дві точки простору $X$ можна з'єднати найкоротшою лінією.
Теорема Хопфа — Рінова не вірна в нескінченновимірних просторах зокрема дві точки скінченновимірного повного Гільбертового многовиду можуть не бути сполученими жодною геодезичною лінією ^[1]. Твердження теореми також неправильне для псевдоріманових многовидів зокрема многовидів Лоренца ^[2].

↑ Atkin, C. J. (1975), The Hopf-Rinow theorem is false in infinite dimensions (PDF), The Bulletin of the London Mathematical Society, 7 (3): 261—266, doi:10.1112 / blms / 7.3.261, MR 0400283 {{citation}}: Перевірте значення |doi= (довідка).
↑ O'Neill, Barrett (+1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, т. 103, Academic Press, с. 193, ISBN 9780080570570.

Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.