Многочлен поділу кола

Многочлен поділу кола — многочлен, що має вигляд:

$\Phi _{n}(X)=\prod _{\omega }(X-\omega )\,$

де $\omega$ — первісні корені степеня n з одиниці і добуток береться по всіх таких коренях. Степінь многочлена $\Phi _{n}(X)$ — кількість натуральних чисел, менших, ніж n, і взаємно простих з n.

Властивості

Многочлени поділу кола задовольняють співвідношенню:

$\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(X)=X^{n}-1$

де добуток береться по всіх додатних дільниках d числа n, включаючи і саме n. Це співвідношення дозволяє рекурсивно обчислювати многочлени $\Phi _{n}(X)$ шляхом ділення многочлена $X^{n}-1$ на добуток всіх $\Phi _{n}(X),\,d<n,\,d\mid n$:

$\Phi _{n}(X)={\frac {X^{n}-1}{\prod _{d|n}\Phi _{d}(X)}}$

При цьому коефіцієнти многочлена належать початковому полю P,а у випадку поля раціональних чисел — коефіцієнти є цілими числами.

Якщо n=p^m — степінь простого числа і характеристика поля P рівна нулю то:

$\Phi _{n}(X)=\sum _{0\leq k\leq p-1}X^{kp^{m-1}}.$

Зокрема для m = 1:

$\Phi _{p}(X)=1+X+X^{2}+\cdots +X^{p-1}.$

Для многочлена $\Phi _{n}(X)$ можна подати явну формулу через функцію Мебіуса μ:

$\prod _{d\mid n}(X^{d}-1)^{\mu (n/d)}=\Phi _{n}(X)$

Наприклад:

$\Phi _{12}(X)=(X^{1}2-1)(X^{6}-1)^{-1}(X^{4}-1)^{-1}(X^{3}-1)^{0}(X^{3}-1)(X^{1}-1)^{0}=X^{4}-X^{2}+1$

Над полем раціональних чисел всі многочлени $\Phi _{n}(X)$ є незвідними, але над скінченними полями ці многочлени можуть розкладатися на множники. Так, над полем лишків по модулю 11 виконується рівність: $\Phi _{12}(X)=X^{4}-X^{2}+1=(X^{2}+5X^{1}+1)(X^{2}-5X+1).$

Рівняння ділення кола

Рівняння $\Phi _{n}(X)=0$, що дає всі первісні корені степеня n з одиниці, називаються рівнянням ділення кола. У випадку числових полів рішення цього рівняння в тригонометричній формі має вигляд:

$\xi _{n}^{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}$

де дріб ${\frac {k}{n}}$ нескоротний, тобто k і n — взаємно прості. Розв'язок в радикалах рівняння ділення кола тісно пов'язано із задачею побудови правильного n-кутника або з еквівалентною їй задачею ділення кола на n рівних частин, а саме, завдання ділення кола на n частин розв'язується за допомогою циркуля і лінійки тоді і тільки тоді, коли рівняння $\Phi _{n}(X)=0$ розв'язується в квадратних радикалах.

Приклади

$\Phi _{1}(X)=X-1$

$\Phi _{2}(X)=X+1$

$\Phi _{3}(X)=X^{2}+X+1$

$\Phi _{6}(X)=X^{2}-X+1$

$\Phi _{9}(X)=X^{6}+X^{3}+1$

$\Phi _{15}(X)=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1$

Джерела

• Е. Артін (1963). Теорія Галуа. пер. з нім. В.А. Вишенського. Київ: Радянська школа. с. 98. (укр.)
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)