Великі числа

Великі числа — числа, що значно більші, ніж ті, які зазвичай використовуються в повсякденному житті (наприклад, у простому рахунку чи грошових операціях), часто з’являються в таких областях, як математика, космологія, криптографія та статистична механіка.

Гугологія — розділ математики, об'єктами якого є великі числа і їх номенклатура. Термін був утворений як комбінація слів «гугол» (класичне велике число) і «логос» (вчення).

Історія

III ст. до н. е. — Архімед у своїй праці «Псамміт» представив позначення, що дозволяє записувати числа до $10^{8\times 10^{16}}$.

I століття — В буддистському священному тексті Аватамсака-сутра було згадано число $\approx 10^{10^{32}}$

1928 рік — Вільгельм Аккерман опублікував свою функцію.

1940 рік — Едвард Казнер описав числа гугол ($10^{100}$) та гуголплекс ($10^{10^{100}}$).

1947 рік — Рубен Гудштейн дав найменування операцій тетрації ($a\uparrow \uparrow b$), пентації ($a\uparrow \uparrow \uparrow b$) та гексації ($a\uparrow ^{4}b$).

1970 рік — С. Вайнер дав визначення швидкозростаючої ієрархії.

1976 рік — Дональд Кнут винайшов нотацію Кнута (межа $\omega$ у термінології швидкозростаючої ієрархії).

1977 рік — М. Гарднер в журналі Scientific American описав число Грема ($G=g(64)=f^{64}(4)$, де $f(n)=3\uparrow ^{n}3$. Функція $g(n)$ має швидкість росту порядку $\omega +1$).

1983 рік — була винайдена нотація Штейнгауза — Мозера(межа $\omega$).

1995 рік — Д. Конвей винайшов ланцюгову стрілочну нотацію (межа $\omega ^{2}$).

2002 рік — Джонатан Бауерс опублікував свою нотацію масиву (межа $\omega ^{\omega }$) і розширене позначення масиву (межа $\omega ^{\omega ^{\omega }}$). У 2007 році Бауерс визначив ще більше своєю дужою позначення BEAF (ця нотація добре визначена до $\varepsilon _{0}$ числа, що перевищують цей рівень, викликають суперечливість оцінок).

• Х. Фридман дав визначення функції TREE(n), що має швидкість зростання $\theta (\Omega ^{\omega }\omega )$.

2011 рік — С. Сайбіан (S. Saibian) запропонував гіпер-Е позначення (межа $\omega$), в 2013 році створену на її основі каскадну-Е позначення (межа $\varepsilon _{0}$) і в 2014 році розширену каскадну-Е позначення (межа $\varphi (\omega ,0,0)$).

Список гугологізмів

Математичні об'єкти, що мають відношення до гугології (зокрема великі числа), називаються гугологізмами. В даний час найменування дані для декількох тисяч чисел, переважаючих гугол. Нижче наведено список деяких гугологізмів та їх вираження в найбільш відомих нотаціях. Перед виразом в тій нотації, в якій число було записано автором, стоїть знак рівності, вираження для того ж числа в інших нотаціях являють собою апроксимації.

Ім'я числа	Степінь десяти	нотація Кнута	нотація Конвея	нотація Бауерса	нотация Сайбиана	швидкозростаюча ієрархія
Гугол	$=10^{100}$	$10\uparrow 100$	$10\rightarrow 100$	$\{10,100\}$	$E100$	$f_{2}(324)$
Гуголплекс	$=10^{10^{100}}$	$10\uparrow (10\uparrow 100)$	$10\rightarrow (10\rightarrow 100)$	$\{10,\{10,100\}\}$	$E100\#2$	$f_{2}^{2}(324)$
Гиггол (Giggol)	$\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} _{\text{100 десяток}}$	$10\uparrow ^{2}100$	$10\rightarrow 100\rightarrow 2$	$=\{10,100,2\}$	$E1\#100$	$f_{3}(100)$
Гаггол (Gaggol)	$\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {10^{10^{10^{\cdots ^{10^{10}}}}}} \\&&{\text{10 десяток}}\end{matrix}}\right\}{\text{100 }}$	$10\uparrow ^{3}100$	$10\rightarrow 100\rightarrow 3$	$=\{10,100,3\}$	$E1\#1\#100$	$f_{4}(100)$
Бугол (Boogol)		$10\uparrow ^{100}100$	$10\rightarrow 10\rightarrow 100$	$=\{10,10,100\}$	$E100\#\#100$	$f_{101}(100)$
Число Грема		$=\left.{\begin{matrix}&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&\underbrace {\quad \quad \;\;\vdots \quad \quad \;\;} \\&&\underbrace {3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3} \\&&3\uparrow ^{4}3{\text{ стрілок}}\end{matrix}}\right\}{\text{64 }}$	$3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2$	$\{3,65,1,2\}$	$E(3)3\#\#4\#64$	$f_{\omega +1}(64)$
Траддом (Traddom)			$10\rightarrow 10\rightarrow 11\rightarrow 4$	$\{10,10,3,2\}$	$E10\#\#10\#\#4$	$=f_{\omega +3}(10)$
Биггол (Biggol)			$10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 100$	$=\{10,10,100,2\}$	$E100\#\#100\#\#100$	$f_{\omega .2}(100)$
Трултом (Trultom)			$10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 10\rightarrow 11$	$\{10,10,10,3\}$	$E10\#\#\#4$	$=f_{\omega .3}(10)$
Тругол (Troogol)			$\underbrace {10\rightarrow 10\rightarrow \cdots \rightarrow 10} _{101\quad \rightarrow }$	$=\{10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#100$	$f_{\omega ^{2}}(100)$

Числа наведені нижче знаходяться вже за межами застосування нотацій Кнута і Конвея.

Ім'я числа	Нотація Бауерса (BEAF)	Нотація Сайбіана	Швидкозростаюча ієрархія
Квадругол (Quadroogol)	$=\{10,10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#\#100$	$f_{\omega ^{3}}(100)$
Квадрексом (Quadrexom)	$\{10,10,10,10,10,10\}$	$E10\#\#\#\#\#10$	$=f_{\omega ^{4}}(10)$
Квинтугол (Quintoogol)	$=\{10,10,10,10,10,100\}$	$E100\#\#\#\#\#100$	$f_{\omega ^{4}}(100)$
Губол (Goobol)	$=\{10,100(1)2\}=$ $=\underbrace {\{10,10,10,\cdots ,10,10\}} _{100\quad {\text{десяток}}}$	$E100\#^{99}100$	$f_{\omega ^{98}}(100)$
Бубол (Boobol)	$=\{10,10,100(1)2\}$	E100#^#100##100	$f_{\omega ^{\omega }+99}(100)$
Трубол (Troobol)	$=\{10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100###101	$f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{2}}(100)$
Квадрубол (Quadroobol)	$=\{10,10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100####101	$f_{\omega ^{\omega }+\omega ^{3}}(100)$
Гутрол (Gootrol)	$=\{10,100(1)3\}$	E100#^#100#^#100	$f_{\omega ^{\omega }.2}(100)$
Госсол (Gossol)	$=\{10,10(1)100\}$	E100#^#*#100	$f_{\omega ^{\omega +1}}(100)$
Моссол (Mossol)	$=\{10,10(1)10,100\}$	E100#^#*##100	$f_{\omega ^{\omega +2}}(100)$
Боссол (Bossol)	$=\{10,10(1)10,10,100\}$	E100#^#*###100	$f_{\omega ^{\omega +3}}(100)$
Троссол (Trossol)	$=\{10,10(1)10,10,10,100\}$	E100#^#*####100	$f_{\omega ^{\omega +4}}(100)$
Дубол (Dubol)	$=\{10,100(1)(1)2\}$	E100#^#*#^#100	$f_{\omega ^{\omega .2}}(100)$
Дутрол (Dutrol)	$=\{10,100(1)(1)3\}$	E100#^#*#^#100#^#*#^#100	$f_{\omega ^{\omega .2}.2}(100)$
Колоссол (Colossol)	$=\{10,10(3)2\}$	E10#^###10	$f_{\omega ^{\omega ^{3}}}(10)$
Тероссол (Terossol)	$=\{10,10(4)2\}$	E10#^####10	$f_{\omega ^{\omega ^{4}}}(10)$
Петоссол (Petossol)	$=\{10,10(5)2\}$	E10#^#####10	$f_{\omega ^{\omega ^{5}}}(10)$
Гонгулус (Gongulus)	$=\{10,10(100)2\}$	E10#^#^#100	$f_{\omega ^{\omega ^{100}}}(10)$
Годтосол (Godtothol)	$\{100,100((1)1)2\}$	=E100#^#^#^#100	$f_{\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}}}(100)$
Годтопол (Godtopol)	$\{100,100(((1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)$
Годоктол (Godoctol)	$\{100,100((((0,1)1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)$
Декотетром (Dekotetrom)	$X\uparrow ^{2}9\&10$	E10#^^#10	$=f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)$
Гоппатос (Goppatoth)	$=10\uparrow \uparrow 100\&10$	E10#^^#101	$f_{\varepsilon _{0}}(101)$
Тесракросс (Tethracross)	$X\uparrow ^{3}X^{2}\&100$	=E100#^^##100	$f_{\zeta _{0}}(100)$
Тесракубор (Tethracubor)	$X\uparrow ^{4}101\&100$	=E100#^^###100	$f_{\eta _{0}}(100)$
Тесратерон (Tethrateron)	$X\uparrow ^{5}101\&100$	=E100#^^####100	$f_{\varphi (4,0)}(100)$
Пентаксулум (Pentacthulhum)	$\{X,X,1,2\}\&100$	=E100#^^^#100	$f_{\Gamma _{0}}(99)$
Гексаксулум (Hexacthulhum)	$\{X,X,1,3\}\&100$	=E100#^^^^#100	$f_{\varphi (2,0,0)}(99)$
Годсгодгулус (Godsgodgulus)	$\{X,X,1,99\}\&100$	=E100#^{100}^#100	$f_{\varphi (98,0,0)}(99)$
TREE(3)			$f_{\theta (\Omega ^{\omega }\omega )}(3)$

Див. також

• Швидкозростаюча ієрархія
• Число Грема