Відбитий броунівський рух

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У теорії ймовірностей відбитий броунівський рух (або врегульований броунівський рух[1][2] (ВБР) — це вінерівський процес у просторі з відбивними межами[3]. У літературі з фізики цей процес описує дифузію в обмеженому просторі і його часто називають обмеженим броунівським рухом. Наприклад, він може описати рух твердих куль у воді, обмежених між двома стінками[4].

Доведено, що ВБР описують моделі масового обслуговування з інтенсивним трафіком[2], як вперше було запропоновано Кінгманом[5] і доведено Іглехартом і Віттом[6][7].

Означення

[ред. | ред. код]

d –вимірний відбитий броунівський рух Z є випадковим процесом на однозначно визначений

  • d –вимірним вектором дрейфу μ
  • d × d не-сингулярною коваріаційною матрицею Σ і
  • d × d матриця відбиття R[8].

де X ( t ) – необмежений броунівський рух із дрейфом μ та дисперсією Σ, і[9]

з Y ( t ) d –вимірним вектором, де

  • Y неперервний і не спадний з Y (0)=0
  • Y j збільшується лише в моменти часу, для яких для
  • .

Матриця відбиття описує поведінку границі. Всередині процес поводиться як Вінерівський процес; на межі, "грубо кажучи, Z штовхається в напрямку Rj кожного разу, коли процес стикається з граничною поверхнею , де R j - j -й стовпець матриці R"[9]. Процес Yj - локальний час процесу на відповідній ділянці границі.

Умови стійкості

[ред. | ред. код]

Умови стійкості відомі для ВБР у 1, 2 і 3 вимірах. «Проблема класифікації повторюваності для стійкости ВБР у чотирьох і вищих вимірах залишається відкритою»[9]. У спеціальному випадку, коли R є M-матрицею, необхідні й достатні умови стійкості наступні[9]

  1. Rоборотна матриця і
  2. R −1 μ<0.

Граничний і стаціонарний розподіл

[ред. | ред. код]

Одновимірний випадок

[ред. | ред. код]

Граничний розподіл (перехідний розподіл) одновимірного броунівського руху, з початком в 0, обмежений позитивними значеннями (єдиний відбивний бар’єр в 0) з дрейфом μ і дисперсією σ 2 записується

для всіх , (з Φ функцією розподілу нормального розподілу), що дає (для ) при експоненціальний розподіл[2]

Для фіксованого t розподіл Z(t) збігається з розподілом поточного максимуму M(t) броунівського руху,

Проте слід памʼятати, що розподіли процесів у цілому дуже різні. Зокрема, зростає в , але не стосується .

Теплове ядро для відбитого броунівського руху при  :

Для поверхні над

Багатовимірний випадок

[ред. | ред. код]

Стаціонарний розподіл відбитого броунівського руху в багатьох вимірах можна простежити аналітично, якщо існує стаціонарний розподіл продукту, [10] який відбувається, коли процес стабільний і [11]

де Д=діаг(Σ). У цьому випадку функція щільності ймовірності [8].

де ηk=2μk γk / Σ kk і γ=R −1μ. Вирази закритої форми для ситуацій, коли умова форми продукту не виконується, можна обчислити чисельно, як описано нижче в розділі моделювання.

Симуляція

[ред. | ред. код]

Одновимірний випадок

[ред. | ред. код]

В однвимірному випадку змодельований процес є абсолютним значенням Вінерівського процесу. Наступна програма MATLAB створює зразок шляху. [12]

% rbm.m
n = 10^4; h=10^(-3); t=h.*(0:n); mu=-1;
X = zeros(1, n+1); M=X; B=X;
B(1)=3; X(1)=3;
for k=2:n+1
    Y = sqrt(h) * randn; U = rand(1);
    B(k) = B(k-1) + mu * h - Y;
    M = (Y + sqrt(Y ^ 2 - 2 * h * log(U))) / 2;
    X(k) = max(M-Y, X(k-1) + h * mu - Y);
end
subplot(2, 1, 1)
plot(t, X, 'k-');
subplot(2, 1, 2)
plot(t, X-B, 'k-');

Помилка, пов’язана з дискретним моделюванням, була визначена кількісно. [13]

Багатовимірний випадок

[ред. | ред. код]

QNET дозволяє симулювати RBM у стаціонарному стані. [14] [15]

Інші граничні умови

[ред. | ред. код]

Феллер описав можливі граничні умови для процесу[16][17][18]

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Dieker, A. B. (2011). Reflected Brownian Motion. Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science. doi:10.1002/9780470400531.eorms0711. ISBN 9780470400531.
  2. а б в Harrison, J. Michael (1985). Brownian Motion and Stochastic Flow Systems (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 978-0471819394. Архів оригіналу (PDF) за 14 квітня 2012. Процитовано 3 травня 2024.
  3. Veestraeten, D. (2004). The Conditional Probability Density Function for a Reflected Brownian Motion. Computational Economics. 24 (2): 185—207. doi:10.1023/B:CSEM.0000049491.13935.af.
  4. Faucheux, Luc P.; Libchaber, Albert J. (1 червня 1994). Confined Brownian motion. Physical Review E (англ.). 49 (6): 5158—5163. doi:10.1103/PhysRevE.49.5158. ISSN 1063-651X.
  5. Kingman, J. F. C. (1962). On Queues in Heavy Traffic. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). 24 (2): 383—392. doi:10.1111/j.2517-6161.1962.tb00465.x. JSTOR 2984229.
  6. Iglehart, Donald L.; Whitt, Ward (1970). Multiple Channel Queues in Heavy Traffic. I. Advances in Applied Probability. 2 (1): 150—177. doi:10.2307/3518347. JSTOR 3518347.
  7. Iglehart, Donald L.; Ward, Whitt (1970). Multiple Channel Queues in Heavy Traffic. II: Sequences, Networks, and Batches (PDF). Advances in Applied Probability. 2 (2): 355—369. doi:10.2307/1426324. JSTOR 1426324. Процитовано 30 листопада 2012.
  8. а б Harrison, J. M.; Williams, R. J. (1987). Brownian models of open queueing networks with homogeneous customer populations (PDF). Stochastics. 22 (2): 77. doi:10.1080/17442508708833469.
  9. а б в г Bramson, M.; Dai, J. G.; Harrison, J. M. (2010). Positive recurrence of reflecting Brownian motion in three dimensions (PDF). The Annals of Applied Probability. 20 (2): 753. arXiv:1009.5746. doi:10.1214/09-AAP631.
  10. Harrison, J. M.; Williams, R. J. (1992). Brownian Models of Feedforward Queueing Networks: Quasireversibility and Product Form Solutions. The Annals of Applied Probability. 2 (2): 263. doi:10.1214/aoap/1177005704. JSTOR 2959751.
  11. Harrison, J. M.; Reiman, M. I. (1981). On the Distribution of Multidimensional Reflected Brownian Motion. SIAM Journal on Applied Mathematics. 41 (2): 345—361. doi:10.1137/0141030.
  12. Kroese, Dirk P.; Taimre, Thomas; Botev, Zdravko I. (2011). Handbook of Monte Carlo Methods. John Wiley & Sons. с. 202. ISBN 978-1118014950.
  13. Asmussen, S.; Glynn, P.; Pitman, J. (1995). Discretization Error in Simulation of One-Dimensional Reflecting Brownian Motion. The Annals of Applied Probability. 5 (4): 875. doi:10.1214/aoap/1177004597. JSTOR 2245096.
  14. Dai, Jim G.; Harrison, J. Michael (1991). Steady-State Analysis of RBM in a Rectangle: Numerical Methods and A Queueing Application. The Annals of Applied Probability. 1 (1): 16—35. CiteSeerX 10.1.1.44.5520. doi:10.1214/aoap/1177005979. JSTOR 2959623.
  15. Dai, J. G.; Harrison, J. M. (1992). Reflected Brownian Motion in an Orthant: Numerical Methods for Steady-State Analysis (PDF). The Annals of Applied Probability. 2 (1): 65—86. doi:10.1214/aoap/1177005771. JSTOR 2959654.
  16. а б в г д Skorokhod, A. V. (1962). Stochastic Equations for Diffusion Processes in a Bounded Region. II. Theory of Probability and Its Applications. 7: 3—23. doi:10.1137/1107002.
  17. Feller, W. (1954). Diffusion processes in one dimension. Transactions of the American Mathematical Society. 77: 1—31. doi:10.1090/S0002-9947-1954-0063607-6. MR 0063607.
  18. Engelbert, H. J.; Peskir, G. (2012). Stochastic Differential Equations for Sticky Brownian Motion (PDF). Probab. Statist. Group Manchester Research Report (5).
  19. Chung, K. L.; Zhao, Z. (1995). Killed Brownian Motion. From Brownian Motion to Schrödinger's Equation. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Т. 312. с. 31. doi:10.1007/978-3-642-57856-4_2. ISBN 978-3-642-63381-2.
  20. Itō, K.; McKean, H. P. (1996). Time changes and killing. Diffusion Processes and their Sample Paths. с. 164. doi:10.1007/978-3-642-62025-6_6. ISBN 978-3-540-60629-1.