Відбитий броунівський рух

У теорії ймовірностей відбитий броунівський рух (або врегульований броунівський рух (ВБР) — це вінерівський процес у просторі з відбивними межами. У літературі з фізики цей процес описує дифузію в обмеженому просторі і його часто називають обмеженим броунівським рухом. Наприклад, він може описати рух твердих куль у воді, обмежених між двома стінками.

Доведено, що ВБР описують моделі масового обслуговування з інтенсивним трафіком, як вперше було запропоновано Кінгманом і доведено Іглехартом і Віттом.

Означення

d –вимірний відбитий броунівський рух Z є випадковим процесом на $\mathbb {R} _{+}^{d}$ однозначно визначений

• d –вимірним вектором дрейфу μ
• d × d не-сингулярною коваріаційною матрицею Σ і
• d × d матриця відбиття R.

де X ( t ) – необмежений броунівський рух із дрейфом μ та дисперсією Σ, і

$Z(t)=X(t)+RY(t)$

з Y ( t ) d –вимірним вектором, де

• Y неперервний і не спадний з Y (0)=0
• Y _j збільшується лише в моменти часу, для яких $Z^{j}=0$ для $j=1,2,\dots ,d$
• $Z(t)\in \mathbb {R} _{+}^{d},t\geq 0$.

Матриця відбиття описує поведінку границі. Всередині $\scriptstyle \mathbb {R} _{+}^{d}$ процес поводиться як Вінерівський процес; на межі, "грубо кажучи, Z штовхається в напрямку R^j кожного разу, коли процес стикається з граничною поверхнею $\scriptstyle \{z\in \mathbb {R} _{+}^{d}:z_{j}=0\}$, де R ^j - j -й стовпець матриці R". Процес Y_j - локальний час процесу на відповідній ділянці границі.

Умови стійкості

Умови стійкості відомі для ВБР у 1, 2 і 3 вимірах. «Проблема класифікації повторюваності для стійкости ВБР у чотирьох і вищих вимірах залишається відкритою». У спеціальному випадку, коли R є M-матрицею, необхідні й достатні умови стійкості наступні

1. R — оборотна матриця і
2. R ⁻¹ μ<0.

Граничний і стаціонарний розподіл

Одновимірний випадок

Граничний розподіл (перехідний розподіл) одновимірного броунівського руху, з початком в 0, обмежений позитивними значеннями (єдиний відбивний бар’єр в 0) з дрейфом μ і дисперсією σ ² записується

$\mathbb {P} (Z(t)\leq z)=\Phi \left({\frac {z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)-e^{2\mu z/\sigma ^{2}}\Phi \left({\frac {-z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)$

для всіх $t\geq 0$, (з Φ функцією розподілу нормального розподілу), що дає (для $\mu <0$) при $t\to \infty$ експоненціальний розподіл

$\mathbb {P} (Z<z)=1-e^{2\mu z/\sigma ^{2}}.$

Для фіксованого t розподіл Z(t) збігається з розподілом поточного максимуму M(t) броунівського руху,

$Z(t)\sim M(t)=\sup _{s\in [0,t]}X(s).$

Проте слід памʼятати, що розподіли процесів у цілому дуже різні. Зокрема, $M(t)$ зростає в $t$, але не стосується $Z(t)$.

Теплове ядро для відбитого броунівського руху при $p_{b}$ :

$f(x,p_{b})={\frac {e^{-((x-u)/a)^{2}/2}+e^{-((x+u-2p_{b})/a)^{2}/2}}{a(2\pi )^{1/2}}}$

Для поверхні над $x\geq p_{b}$

Багатовимірний випадок

Стаціонарний розподіл відбитого броунівського руху в багатьох вимірах можна простежити аналітично, якщо існує стаціонарний розподіл продукту, який відбувається, коли процес стабільний і

$2\Sigma =RD+DR'$

де Д=діаг(Σ). У цьому випадку функція щільності ймовірності .

$p(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d})=\prod _{k=1}^{d}\eta _{k}e^{-\eta _{k}z_{k}}$

де η_k=2μ_k γ_k / Σ _kk і γ=R ⁻¹μ. Вирази закритої форми для ситуацій, коли умова форми продукту не виконується, можна обчислити чисельно, як описано нижче в розділі моделювання.

Симуляція

Одновимірний випадок

В однвимірному випадку змодельований процес є абсолютним значенням Вінерівського процесу. Наступна програма MATLAB створює зразок шляху.

% rbm.m
n = 10^4; h=10^(-3); t=h.*(0:n); mu=-1;
X = zeros(1, n+1); M=X; B=X;
B(1)=3; X(1)=3;
for k=2:n+1
    Y = sqrt(h) * randn; U = rand(1);
    B(k) = B(k-1) + mu * h - Y;
    M = (Y + sqrt(Y ^ 2 - 2 * h * log(U))) / 2;
    X(k) = max(M-Y, X(k-1) + h * mu - Y);
end
subplot(2, 1, 1)
plot(t, X, 'k-');
subplot(2, 1, 2)
plot(t, X-B, 'k-');

Помилка, пов’язана з дискретним моделюванням, була визначена кількісно.

Багатовимірний випадок

QNET дозволяє симулювати RBM у стаціонарному стані.

Інші граничні умови

Феллер описав можливі граничні умови для процесу

• поглинання або припинений броунівський рух, гранична умова Діріхле
• миттєве відбиття, як описано вище, гранична умова Неймана
• пружне відображення, гранична умова Робена
• запізніле відображення (час перебування на межі додатний з ймовірністю один)
• часткове відображення , де процес або відразу відбивається, або поглинається
• липкий броунівський рух.

Див. також

• Проблема Скорохода