Експоненційний розподіл

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Показниковий розподіл

Probability density function
Функція розподілу ймовірностей
Cumulative distribution function
Параметри - інтенсивність або зворотність коефіцієнт масштабу
Носій функції
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана
Мода
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція

Показниковий розподіл — абсолютно неперервний розподіл, що моделює час між двома послідовними завершеннями однієї і тієї ж події.

Визначення[ред.ред. код]

Випадкова величина має експоненційний розподіл з параметром , якщо її густина має вигляд

.

Часто можна бачити експоненційний розподіл зі зсувом(параметр зсуву )

.

Інколи сімейство експоненційних розподілів параметризують зворотнім параметром :

.

Обидва способи однаково природні, і необхідна лише домовленість, який з них використовується.

Приклад. Хай є магазин, в який час від часу заходять покупці. При визначених допущеннях, час між появами двох послідовних покупців буде випадковою величиною з експоненційним розподілом. Середній час очікування нового покупця (див. нижче) рівний . Сам параметр може бути інтерпретований як середнє число нових покупців за одиницю часу.

У цій статті, для визначеності, передбачатимемо, що щільність експоненційної випадкової величини задана першим рівнянням, і писатимемо: .

Функція розподілу[ред.ред. код]

Інтегруючи щільність, отримаємо функцію експоненційного розподілу:

Моменти[ред.ред. код]

За допомогою нескладного інтегрування знаходимо, що функція моментів для експоненційного розподілу має такий вигляд:

,

звідки отримуємо всі моменти:

.
,
.

Властивості[ред.ред. код]

Квантилі[ред.ред. код]

Квантильна функція (обернена функція розподілу) для експоненційного розподілу, записується:

для . Отже, квантилі:

перший (25% процентиль) 
медіана 
третій (75% процентиль)

Розподіл мінімуму експоненційно розподілених випадкових величин[ред.ред. код]

Нехай незалежні випадкові величини розподілені за експоненційним розподілом з параметрами . Тоді

також експоненційна випадкова величина з параметром

В цьому можна переконатися розглянувши доповнювальну функцію розподілу:

Індекс змінної, що є мінімумом, розподілений згідно з законом

Зауважте, що

не є експоненційно розподілена.

Інші властивості[ред.ред. код]

Якщо розглядати порядкові статистики , з експоненціальним розподілом генеральної сукупності , то випадкові величини є незалежними.[Джерело?]

Експоненційний розподіл у статистиці[ред.ред. код]

Розглянемо генеральну сукупність .

Статистика вигляду є незміщеною, конзистентною та ефективною оцінкою параметру розподілу генеральної сукупності. Незміщеність є наслідком того, що вибіркове середнє є незміщеною оцінкою для математичного сподівання випадкової величини, розподіл якої має генеральна сукупність.

Конзистентність. Використаємо критерій конзистентності для незміщених точкових оцінок. при . Або можна використати те, що вибіркове середнє є конзистентною оцінкою математичного сподівання.

Для перевірки ефективності запишемо функцію правдоподібності: . Звідси логарифмічна функція правдоподібності:

. Переходимо до випадкової вибірки, маємо: . А так як вибіркове середнє - незміщена оцінка параметра , то за нерівністю Рао-Крамера для незміщених точкових оцінок отримуємо бажаний результат, тобто вибіркове середнє є ефективною оцінкою параметра .

Показниковий закон розподілу[ред.ред. код]

У найпростішому потоці подій випадкова величина T - інтервал часу між двома послідовними подіями - розподілена за допомогою показникового закону.

Визначення[ред.ред. код]

Неперервна випадкова величина розподілена за показниковим законом, якщо її щільність розподілу має вигляд:

де λ - інтенсивність подій, тобто кількість подій в одиницю часу. Показниковий закон розподілу має тільки один параметр λ.

Таким чином, якщо випадкова величина Х має показниковий закон розподілу з параметром λ>0, це можна записати у вигляді

Показниковий розподіл є неперервним аналогом дискретного геометричного розподілу.

Посилання[ред.ред. код]


Статистика Це незавершена стаття зі статистики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.