Нормальна система координат

Нормальна система координат — локальна система координат в околі точки ріманового многовиду (або, більш загально, многовиду з афінною зв'язністю), що одержується із координат на дотичному просторі в даній точці застосуванням експоненційного відображення.

Означення

Нехай $M$ є гладким многовидом із афінною зв'язністю $\nabla$. Для дотичного простору $T_{p}M$ у точці $p\in M$ для кожного $V\in T_{p}M$ існує однозначно визначена геодезична крива $\gamma _{V}$, задана на якомусь проміжку (-t,t), тобто $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0$ на цьому проміжку і ${\dot {\gamma }}_{V}(0)=Y$. Ці геодезичні лінії задають експоненційне відображення на відкритій підмножині ${\mathcal {E}}_{p}\subset T_{p}M$:

$\exp _{p}\colon {\mathcal {E}}_{p}\to M,\quad V\mapsto \exp _{p}(V):=\gamma _{V}(1)$.

Для базиса $(E_{i})_{i}$ дотичного простору $T_{p}M$ існує лінійний ізоморфізм

$E\colon \mathbb {R} ^{n}\to T_{p}M,$

заданий як $\textstyle E(x^{1},\ldots ,x^{n})=\sum _{i}x^{i}E_{i}$. Нехай $U\subset M$ є нормальним околом точки $p$, тобто околом для якого експоненційне відображення є дифеоморфізмом із околу $0\in V=\exp _{p}^{-1}(U)$ у дотичному просторі $T_{p}M$ на $U$. Тоді відображення

$\phi \colon U\to \mathbb {R} ^{n},\quad U\ni q\mapsto E^{-1}\circ \exp _{p}^{-1}(q)$

є координатним відображенням, що задає локальну систему координат, які і називаються нормальними координатами.

Оскільки вибір координат на дотичному просторі є довільним, то і нормальні координати в околі точки не є однозначно визначеними. Для ріманових многовидів часто вимагається щоб базові вектори дотичного простору були ортонормальними. Тоді одержані координати також називаються рімановими нормальними координатами.

Властивості

Нехай $x^{i}$ є нормальними координатами в нормальному околі $U$ з центром у точці $p\in M$.

• Координатами точки $p$ є $(0,...,0)$
• Нехай $V\in T_{p}M$ із компонентами $V^{i}$ у локальних координатах. Тоді геодезична крива $\gamma _{V}$ із точки $p$ у напрямку $V$ у нормальних координатах на $U$ задається як $\gamma _{V}(t)=(tV^{1},...,tV^{n})$.
• Якщо тензор кручення афінної зв'язності $\nabla$ є нульовим то Символи Крістофеля у точці $p$ у координатному базисі $X_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ є рівними нулю, тобто $\Gamma _{ij}^{k}(p)=0$. Ця властивість, зокрема, завжди є справедливою для ріманових многовидів із зв'язністю Леві-Чивіти.

За означенням афінної зв'язності і символів Крістофеля для координатного базиса $\nabla _{X_{i}}X_{j}(p)=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(p)X_{k}(p).$ За означенням тензора кручення $T(X_{i},X_{j})=\nabla _{X_{i}}X_{j}-\nabla _{X_{j}}X_{i}-[X_{i},X_{j}]$ і оскільки дужки Лі координатних векторних полів є нульовими і за умовою тензор кручення рівним нулю, то $\nabla _{X_{i}}X_{j}=\nabla _{X_{j}}X_{i}.$ Із попередніх властивостей, крива задана у нормальних координатах як $\gamma (t)=(0,\ldots ,t,\ldots ,t,\ldots ,0)$ де t є на позиціях i і j а всі решта координати рівні 0, є геодезичною і тому $0=\nabla _{X_{i}+X_{j}}X_{i}+X_{j}=\nabla _{X_{i}}X_{i}+\nabla _{X_{j}}X_{j}+2\nabla _{X_{i}}X_{j}.$ Але усі нормальні координатні лінії, що виходять із $p$ є геодезичними, то ж $\nabla _{X_{i}}X_{i}=\nabla _{X_{j}}X_{j}=0,$ а тому також $\nabla _{X_{i}}X_{j}=0.$ Звідси і всі символи Крістофеля у точці $p$ є рівними нулю.

• Для ріманового многовиду із зв'язністю Леві-Чивіти всі часткові похідні елементів $g_{ij}$ метричного тензора у точці $p$ є рівними нулю, тобто ${\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0,\,\forall i,j,k$. У випадку ріманових нормальних координат у точці $p$ елементи $g_{ij}$ у $p$ є рівними $\delta _{ij}$.

Див. також

• Атлас (математика)
• Афінна зв'язність
• Диференційовний многовид
• Експоненційне відображення
• Тензор кручення

Література

• Busemann, Herbert (1955), On normal coordinates in Finsler spaces, Mathematische Annalen, 129: 417—423, doi:10.1007/BF01362381, ISSN 0025-5831, MR 0071075.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, т. Vol. 1 (вид. New), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• Chern, S. S.; Chen, W. H.; Lam, K. S.; Lectures on Differential Geometry, World Scientific, 2000