У математиці ознаки Діні та Діні–Ліпшіца є високоточними, вони використовуються для доведення збіжності ряду Фур’є в заданій точці. Ознаки названі на честь Уліса Діні та Рудольфа Ліпшіца.
Нехай
— функція, що задана на відрізку
,
— деяка точка та
— додатне число. Визначимо локальний модуль неперервності в точці
як
![{\displaystyle \left.\right.\omega _{f}(\delta ;t)=\max _{|\varepsilon |\leq \delta }|f(t)-f(t+\varepsilon )|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68492315b0a3d7d7b9f11b5f6db6bea7ac09aaea)
Зауважимо, що
розглядається як періодична функція; наприклад, якщо
i
, тоді вважаємо, що
.
Глобальний модуль неперервності (або просто модуль неперервності[en]) визначається як
![{\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\max _{t}\omega _{f}(\delta ;t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd93b2ce0e4c9062e596407c772b97ebe7265b1)
За допомогою цих визначень можемо сформулювати основний результат:
- Теорема (ознака Діні): Нехай у точці
функція
задовольняє умову
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\omega _{f}(\delta ;t)\,\mathrm {d} \delta <\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfab1ed86791b7fee0d80813074a22a20c51fda)
- Тоді ряд Фур’є функції
у точці
збігається до функції ![{\displaystyle f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf044fe2fbfc4bd8d6d7230f4108430263f9fd6)
Наприклад, теорема справедлива при
, але несправедлива при
.
- Теорема (ознака Діні–Ліпшіца): Нехай функція
задовольняє умову
![{\displaystyle \omega _{f}(\delta )=o\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26ce79f63e18c5de5a4c5a1390f249cdc363fb7)
- Тоді ряд Фур’є функції
рівномірно збігається до
.
Зокрема, будь-яка функція з класу Гельдера задовольняє ознаку Діні–Ліпшіца.
Обидві ознаки є найкращими у своєму роді. Для ознаки Діні–Ліпшіца можна побудувати функцію з модулем неперервності, що задовольняє ознаку з точністю асимптотичної оцінки
замість
, тобто
![{\displaystyle \omega _{f}(\delta )=O\left(\log {\frac {1}{\delta }}\right)^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c05843848d02e87dc985fa056a332c1044e236)
i ряд Фур’є функції
розходиться. Для ознаки Діні, твердження щодо точності є трошки довшим: для будь-якої функції
такої, що
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{\delta }}\Omega (\delta )\,\mathrm {d} \delta =\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0314252d780334db225a7e589b56002f9a596353)
існує така функція
, що
![{\displaystyle \omega _{f}(\delta ;0)<\Omega (\delta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e8464998de0bd1556ac25fb8c8f97ed3f462db)
i ряд Фур’є функції
розходиться у точці
.
Справедлива також модифікація ознаки Діні на випадок, коли функція
має розрив у точці
, але тим не менш, її звуження на проміжках
та
можуть бути продовженими до функції, що задовольняють ознаку Діні.
Нехай
,
— деякі числа. Покладемо для
![{\displaystyle \omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t,t+\delta )}|f(s)-f_{+}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f7ae365b95b9123071b356d0a9ac7cffeca4aa)
![{\displaystyle \omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta ):=\sup \limits _{s\in (t-\delta ,t)}|f(s)-f_{-}|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41f473fee62e01df0145ee5d54b4913f7a2ff737)
Якщо числа
,
та функція
такі, що
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{+}}^{+}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty ,\\&\int \limits _{0+}\limits {\frac {\omega _{f,f_{-}}^{-}(t,\delta )\,d\delta }{\delta }}<+\infty ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0960d318618afc46e9c0976245a4359b269ca4)
то ряд Фур’є функції
у точці
збігається до
.
Приклад застосування ознаки Діні: сума обернених квадратів
[ред. | ред. код]
Розглянемо періодичне продовження функції
з проміжку
:
![{\displaystyle f(x)=\left(\pi \left\{{\frac {x}{\pi }}\right\}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed722cec9ee6bbf7df5a4dafd2fc51ef427ca2d)
де фігурні дужки позначають дробову частину числа. Нескладно знайти розклад цієї функції в ряд Фур’є:
![{\displaystyle f(x)\sim {\frac {\pi ^{2}}{3}}+4\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}\cos nx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6ea92760eb96094c32eca4068bbbd49e35e74a)
Підставляючи
та
, i користуючись для обґрунтування точкової збіжності відповідно звичайною та модифікованою ознакою Діні, отримаємо наступні рівності:
![{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7330a5a48446de4ab570a9e5a9d25a6e5c54f3cf)
та
![{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d325fd2dd668cfd8d55d18a7f73d4c177fb8932b)