Знакопереміжний ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Знакоперемі́жний ряд — математичний ряд, члени якого почергово набувають значень із протилежними знаками:

.

Як і будь-який ряд, знакопереміжний ряд є збіжним[en] тоді і тільки тоді, коли відповідна послідовність часткових сум є збіжною.

Приклади[ред. | ред. код]

Геометричний ряд 1/2-1/4+1/8-1/16+ є збіжним до 1/3.

Знакопереміжний гармонічний ряд має скінченну суму, а гармонічний ряд  — ні.

Ряд Меркатора надає аналітичний вираз для натурального логарифму:

Функції синус і косинус, що використовуються в тригонометрії, в математичному аналізі можна визначити як знакопереміжні ряди, попри те, що в елементарній алгебрі вони вводяться як відношення сторін прямокутного трикутника. Дійсно,

, та

Якщо з цих рядів вилучити закопереміжний коефіцієнт , то отримаємо гіперболічні функції і , що використовуються в математичному аналізі.

Для цілого чи додатного індексу функцію Бесселя першого роду можна визначити за допомогою закопереміжного ряду

де — це гамма-функція.

Якщо комплексне число, тоді функція Діріхле подається у вигляді знакопереміжного ряду

що використовується в аналітичній теорії чисел.

Ознака Лейбніца[ред. | ред. код]

Ознака Лейбніца — ознака збіжності знакопереміжного ряду, встановлена Готфрідом Лейбніцем. Формулювання теореми: нехай дано знакопереміжний ряд

,

для якого виконуються такі умови:

  1. , починаючи з деякого номера (),

Тоді такий ряд збігається.

Зауваження

Ряди, що задовольняють ознаці Лейбніца, називаються рядами Лейбніца.

Слід зазначити, що монотонне спадання до нуля не є необхідним для збіжності знакопереміжного ряду (тоді як для довільного ряду умова є саме необхідною умовою): ця ознака є достатньою, але не обов'язковою (наприклад, ряд збігається).

Ряд Лейбніца може абсолютно збігатися (якщо збігається ряд ), а може збігатися умовно (якщо ряд із модулів розбігається).

Доведення

Розглянемо дві послідовності часткових сум ряду и .

Перша послідовність не спадає: за першою умовою.

За тією ж умовою друга послідовність не зростає: .

Друга послідовність мажорує першу, тобто для довільних . Дійсно,

при маємо:
при маємо:

Отже вони обидві збігаються як монотонні обмежені послідовності.

Залишилося зауважити, що: , тому вони збігаються до спільної границі , яка і є сумою початкового ряду.

Попутно ми показали, що для будь-якої часткової суми ряду є оцінка .

Приклад[ред. | ред. код]

. Ряд з модулів має вигляд  — це гармонічний ряд, який розбігається.

Тепер скористаємося ознакою Лейбніца:

  1. знакопереміжність виконано;
  2. ;
  3. .

Отже, оскільки всі умови виконано, ряд збігається (причому умовно, оскільки ряд з модулів розбіжний).

Оцінка залишку ряду Лейбніца[ред. | ред. код]

З теореми Лейбніца випливає наслідок, який дозволяє оцінити похибку обчислення неповної суми ряду (залишок ряду):

Залишок збіжного знакопереміжного ряду буде за модулем меншим від першого відкинутого доданку:

Доведення
Послідовність монотонно зростає, оскільки а вираз невід'ємний за будь-якого цілого . Послідовність монотонно спадає, оскільки а вираз у дужках невід'ємний. Як вже доведено під час доведення самої теореми Лейбніца, в обох цих послідовностей — і — однакова границя при Так отримано і також Звідси і Отже, для будь-якого виконується , що й потрібно було довести.

Знакозмінний ряд[ред. | ред. код]

Знакопереміжні ряди також іноді називають знакозмінними[1], проте цей термін може також означати будь-які ряди, які мають одночасно нескінченне число додатних і від'ємних членів.

Наближені суми[ред. | ред. код]

Наведена вище оцінка не залежить від . Отже, якщо {} монотонно збігається до , то оцінка абсолютної похибки для наближення нескінченних сум частковими є такою:

Абсолютна збіжність[ред. | ред. код]

Ряд абсолютно збіжний, якщо ряд — збіжний.

Теорема: Абсолютно збіжний ряд є збіжним.

Доведення
Припустимо, що ряд абсолютно збіжний. Тоді, є збіжним, і з цього випливає, що також збіжний. Оскільки , тоді ряд є збіжним за ознакою порівняння рядів. Тому є збіжним як різниця двох збіжних рядів .

Умовна збіжність[ред. | ред. код]

Ряд називають умовно збіжним, якщо він є збіжним, але не є абсолютно збіжним.

Наприклад, гармонічний ряд

розбіжний, тоді як його знакопереміжна версія

збігається за ознакою Лейбніца.

Перестановки[ред. | ред. код]

Для будь-якого ряду можна утворити новий ряд перестановкою порядку сумування. Ряд називається безумовно збіжним, якщо після будь-якої його перестановки утворюється ряд з тією ж збіжністю, що й початковий. Абсолютно збіжні ряди є безумовно збіжними. Але теорема Рімана про умовно збіжний ряд стверджує, що умовно збіжні ряди можна подати для утворення будь-якої збіжності.[2] Загальний принцип полягає в тому, що додавання нескінченних сум є комутативним лише для абсолютно збіжних рядів.

Наприклад, одне з хибних доведень, що , використовує порушення асоціативності для нескінченних сум.

Ще один приклад, як відомо

Але, оскільки ряд не є абсолютно збіжним, то можемо переставити члени ряду, щоб отримати ряд для :

Прискорення збіжності ряду[ред. | ред. код]

Насправді числове підсумування знакопереміжного ряду можна прискорити за допомогою будь-якої з різноманітних методик прискорення збіжності рядів. Однією з найдавніших методик є підсумування Ейлера, а також безліч сучасних методик, які можуть забезпечити ще швидшу збіжність рядів.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 2 стор. 302
  2. Mallik, AK (2007). Curious Consequences of Simple Sequences. Resonance. 12 (1): 23–37. doi:10.1007/s12045-007-0004-7. 

Література[ред. | ред. код]

  • Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М. : МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 800 прим. — ISBN 5-7417-0147-7.
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.
  • Earl D. Rainville[en] (1967) Infinite Series, pp 73–6, Macmillan Publishers.
  • Weisstein, Eric W. Alternating Series(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.