Польський простір

Польський простір — топологічний простір, гомеоморфний повному метричному простору із зліченною щільною підмножиною.

Приклади

• Дійсна пряма і будь-яка її відкрита або замкнута підмножина
• Довільний евклідів простір $\mathbb {R} ^{n}$
• Сепарабельні банахові простори
• Довільний компактний метризовний простір є польським простором. Зокрема це стосується компактного гаусдорфового простору зі зліченною базою
• Множина Кантора
• Куб Гільберта $I^{\mathbb {N} },$ де $I$ позначає одиничний інтервал
• Простір $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ (простір послідовностей натуральних чисел із топологією добутку)
• Простір ірраціональних чисел із індукованою топологією дійсної прямої є польським простором, оскільки ірраціональні числа є G_δ-підмножиною дійсних чисел. Натомість з теореми Бера про категорії випливає, що простір раціональних чисел не є польським простором
• Простір Урисона

Властивості

• Замкнуті відкриті підмножини польського простору є польськими просторами.

Оскільки польський простір є сепарабельним і на ньому можна ввести метрику, то і будь-який його підпростір із індукованою топологією є сепарабельним. Дійсно сепарабельний метричний простір задовольняє другу аксіому зліченності (множина куль у цій метриці із центрами у зліченній щільній підмножині і раціональними радіусами утворює зліченну базу топології). Тоді перетини елементів зліченної бази із підпростором утворює зліченну базу підпростору. Обравши точку в кожному елементі зліченної бази отримуємо зліченну щільну підмножину.

Залишається довести, що на відкритих і замкнутих підмножинах польського простору можна ввести повну метрику. Якщо розглянути деяку повну метрику на польському просторі, то її обмеження на замкнуту підмножину буде повною метрикою. Тому ця множина є польським простором.

Для відкритої підмножини U топологічного простору X позначимо $U^{c}$ доповнення цієї множини і для точки $x\in U$ також позначимо $d(x,U^{c})=\inf\{d(x,z)\ :\ z\in U^{c}\}.$ Можна ввести метрику на U:

$d_{0}(x,y)=d(x,y)+\left|{\frac {1}{d(x,U^{c})}}-{\frac {1}{d(y,U^{c})}}\right|$

Ця метрика породжує топологію на U індуковану від X. Дійсно згідно нерівності трикутника $|d(x,U^{c})-d(y,U^{c})|\leqslant d(x,y)$ і тому функція $x\to d(x,U^{c})$ є неперервною. Тому послідовність $\{x_{n}\}$ збігається до x у метриці d тоді і тільки тоді, коли вона збігається до x у метриці $d_{0}.$ Тому метрика $d_{0}$ породжує індуковану топологію на U.

Для доведення повноти метрики, нехай $\{x_{n}\}$ є фундаментальною послідовністю для $d_{0}.$ Тоді вона також є фундаментальною для d і тому збігається до точки $x\in X.$ Точка x належить U в іншому випадку було б $\lim _{n}d(x_{n},U^{c})=0$ і звідси $\limsup _{n,m}d_{0}(x_{n},x_{m})=\infty ,$ що суперечить фундаментальності $\{x_{n}\}$ для $d_{0}.$ Як наслідок $\{x_{n}\}$ збігається до x у метриці $d_{0},$ що завершує доведення повноти цієї метрики.

• Диз'юнктне об'єднання скінченної чи зліченної кількості польських просторів є польським простором.

Нехай $X_{n}$ позначають відповідні польські простори, $D_{n}$ — їх щільні зліченні підмножини, а $d_{n}$ — деякі повні метрики на просторах. Можна припустити, що для всіх цих метрик $d_{n}(x,y)\leqslant 1$ (в іншому випадку можна розглянути повні метрики $\min(d_{n}(x,y),1),$ що породжують ті ж топології). Диз'юнктне об'єднання $D_{n}$ є зліченною множиною, що є цільною у диз'юнктному об'єднанні польських просторів. Метрика $d$ задана як $d(x,y)=d_{n}(x,y),$ якщо $x,y$ належать одному $X_{n}$ і $d(x,y)=1$ в іншому випадку, є повною метрикою на диз'юнктному об'єднанні $X_{n}$, що завершує доведення

• Будь-яка G-дельта-підмножина польського простору є польським простором.

  Нехай $Y=\cap _{n}U_{n},$ де $U_{n}$ є відкритими підмножинами польського простору $X.$ Тоді всі $U_{n}$ і їх добуток $\prod _{n}U_{n}$ є польськими просторами. Перетин діагоналі $\Delta \subset \prod _{n}X$ із підпростором $\prod _{n}U_{n}$ є замкнутою підмножиною у $\prod _{n}U_{n}$, а тому польським простором. До того ж $\Delta \cap \prod _{n}U_{n}$ є гомеоморфним $Y$ через відображення, що зіставляє елементу $y\in Y$ послідовність у $\prod _{n}U_{n}$ всі члени якої є рівними $y.$

• Навпаки, якщо підмножина польського простору є польським простором, то вона є G-дельта-множиною.
• Топологічний простір є польським простором тоді і тільки тоді коли він є гомеоморфним G-дельта-підмножині кубу Гільберта $I^{\mathbb {N} }$
• Прямий добуток зліченної кількості польських просторів є польським простором.

Нехай $X_{n}$ позначають відповідні польські простори, а $d_{n}$ — деякі повні метрики на просторах для яких $d_{n}(x,y)\leqslant 1.$ Якщо $x,y\in \prod _{n}X_{n}$ — точки добутку просторів із координатами $x_{1},x_{2},\ldots$ і $y_{1},y_{2},\ldots$ відповідно, то $d(x,y)=\sum _{n}{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x,y)$ є метрикою, що породжує топологію добутку і добуток просторів є повним метричним простором із цією метрикою.

Для доведення сепарабельності спершу слід зазначити, що як і вище всі $X_{n}$ задовольняють другу аксіому зліченності і тому можна обрати зліченну бази топології ${\mathcal {U}}_{n}$ для всіх $X_{n}.$ Тоді множини виду $U_{1}\times \ldots \times U_{N}\times X_{N+1}\times X_{N+2}\times \ldots ,$ де N є натуральним числом і всі $U_{n}\in {\mathcal {U}}_{n},$ утворюють базу добутку. Тобто добуток топологій задовольняє другу аксіому зліченності і тому є сепарабельним простором.

• Довільна скінченна борелівська міра на польському просторі є регулярною.
• Між будь-якими двома незліченними польськими просторами існує борелівська бієкція, тобто бієкція, яка переводить борелівські множини в борелівські. Зокрема, кожен незліченний польський простір має потужність континууму.
• Теорема Кантора — Бендіксона: будь-яка замкнута підмножина в польському просторі є диз'юнктним об'єднанням досконалої підмножини, зліченної і відкритої підмножин.

Література

• D. J. H. Garling (2018), Analysis on Polish Spaces and an Introduction to Optimal Transportation, London Mathematical Society Student Texts, т. 89, Cambridge University Press, ISBN 978-1-108-42157-7