У комбінаториці поліноми Белла, що названі на честь Еріка Темпла Белла, використовуються для вивчення заданих розділів. Вони пов'язані з числами Стірлінга та Белла. Вони також зустрічаються у багатьох програмах, наприклад у формулі Фаа ді Бруно.
Часткові або неповні експоненційні поліноми Белла — це трикутний масив поліномів, заданий
![{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4fdbef3e0ca92c324e9ac45eb79114edb05c88)
де сума береться за всіма послідовностями j1, j2, j3, ..., jn — k +1 невід’ємних цілих чисел, таким чином, що б виконувалися наступні дві умови :
![{\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376e645b6953b48eafbe7f32b7d7ad67c8a2a238)
![{\displaystyle j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84e925f91d3aba7e34521fd214cc5e0e73b01b7)
Сума
![{\displaystyle B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76991d0ee74bbcc3c1dd06b481c3136c873d28a4)
називається n-м повним експоненційними полінонмоми Белла.
Так само часткові звичайні поліноми Белла, на відміну від звичайного експоненціального многочлена Белла, визначений вище, задається формулою
![{\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9768a96080b24379081ddad0f059e009125c42)
де сума пробігає всі послідовності j1, j2, j3, ..., jn – k +1 невід'ємних цілих чисел, таких що
![{\displaystyle j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376e645b6953b48eafbe7f32b7d7ad67c8a2a238)
![{\displaystyle j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41023eeadb5b9721627a217c02f94cf2030db2dd)
Звичайні поліноми Белла можна виразити в термінах експоненційних поліномів Белла:
![{\displaystyle {\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})={\frac {k!}{n!}}B_{n,k}(1!\cdot x_{1},2!\cdot x_{2},\ldots ,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58e51fbdd9c1a11ce2dd41f36af8377ecf5c0249)
Як правило, під поліномами Белла маються на увазі експоненційні поліноми Белла, якщо не зазначено іншого.
Експоненційні поліноми Белла безпосередньо стосується способів розбиття множин. Наприклад, якщо ми розглядаємо множину {A, B, C}, її можна розбити на два непусті, підмножини що не перетинаються, які також називають частинами або блоками, 3 різними способами:
- {{A}, {B, C}}
- {{B}, {A, C}}
- {{C}, {B, A}}
Таким чином, ми можемо закодувати інформацію щодо цих розбиттів як
![{\displaystyle B_{3,2}(x_{1},x_{2})=3x_{1}x_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6280104864fb85715300296387cf3a26597624a)
Тут підписники B3,2 говорять нам, що ми розглядаємо поділ набору з 3-х елементів на 2 блоки. Підрядник кожного xi вказує на наявність блоку з елементами j (або блоку розміру i) в заданому розділі. Отже, x2 вказує на наявність блоку з двома елементами. Аналогічно, x1 вказує на наявність блоку з одним елементом. Експонент xij вказує на те, що в одному розбитті є j таких блоків розміром i. Тут, оскільки і x1, і x2 є експонент 1, це вказує, що в даному розділі є лише один такий блок. Коефіцієнт одночлена вказує, скільки таких перегородок є. У нашому випадку є 3 розділи набору з 3 елементами на 2 блоки, де в кожній секції елементи розділені на два блоки розмірами 1 і 2.
Оскільки будь-який набір може бути розділений на один блок лише одним способом, вищезгадане тлумачення означало б, що Bn,1 = xn. Аналогічно, оскільки існує лише один спосіб поділу множини з n елементами на n одиниць, Bn,n = x1n.
Як складніший приклад розглянемо
![{\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f652d968d23f71f42f7c36dc986b334533e60e73)
Це говорить нам про те, що якщо набір з 6 елементами розділений на 2 блоки, то ми можемо мати 6 розділів з блоками розміру 1 і 5, 15 розділів з блоками розміру 4 і 2, і 10 розділів з 2 блоками розміром 3.
Сума підписок у монометах дорівнює загальній кількості елементів. Таким чином, кількість одночленів, що з'являються в частковому многочлені Белла, дорівнює кількості способів, що ціле число n може бути виражене як підсумок k додатних цілих чисел. Це і є розбиття числа n на k частин. Наприклад, у вище наведених прикладах ціле число 3 можна розділити на дві частини лише як 2 + 1. Таким чином, у B3,2 містить лише один одночлен. Однак ціле число 6 можна розділити на дві частини як 5 + 1, 4 + 2 і 3 + 3. Таким чином, B6,2 містить три одночлени. Дійсно, індекси змінних у мономери такі самі, як ті, які задаються цілим розділом, що вказує на розміри різних блоків. Таким чином, загальна кількість одночленів, що з'являються в повному поліномі Белла Bn, дорівнює загальній кількості розбиттів числа n.
Також ступінь кожного одночлена, що є сумою експонентів кожної змінної в мономі, дорівнює кількості блоків, на які поділяється множина. Тобто j 1 + j 2 + ... = k. Таким чином, задавши повний многочлен Белла B n, ми можемо відокремити частковий многочлен Белла Bn,k, зібравши всі ці мономи зі ступенем k.
Нарешті, якщо знехтувати розмірами блоків і поставити всі xi = x, то підсумовування коефіцієнтів часткового многочлена Белла Bn, k дасть загальну кількість способів розподілу множини з n елементів k блоки, що те саме, що числа Стірлінга другого роду. Крім того, підсумовування всіх коефіцієнтів повного многочлена Белла Bn дасть нам загальну кількість способів поділити набір з п елементами на підмножини, що не перекриваються, що те саме, що і число Белла.
Загалом, якщо ціле число n розбиттів на суму, в якій «1» з'являється j1 раз, «2» з'являється j2 рази і так далі, то кількість розбиття множини розміром n, які згортаються до цього розділу цілого числа n, коли члени множини стають невідрізними, — це відповідний коефіцієнт у многочлени.
Нехай, ми маємо
![{\displaystyle B_{6,2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=6x_{5}x_{1}+15x_{4}x_{2}+10x_{3}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f652d968d23f71f42f7c36dc986b334533e60e73)
оскільки є
- 6 способів розбити множину 6 як 5 + 1,
- 15 способів розбити множину 6 як 4 + 2, і
- 10 способів розбити множину 6 як 3 + 3.
Подібно
оскільки є
- 15 способів розбити множину 6 на 4 + 1 + 1,
- 60 способів розділити множину 6 як 3 + 2 + 1, і
- 15 способів розбити множину 6 як 2 + 2 + 2.
Експоненційні часткові поліноми Белла можна визначити подвійним розкладом у ряд його генератриси:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (t,u)&=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}}u^{k}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\sum _{k=1}^{n}u^{k}B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614ae2d265c5daeb121ea25ce906ec12f73c0adb)
Інакше кажучи, що є фактично те ж саме, шляхом розкладу у ряд k-го степеню:
![{\displaystyle {\frac {1}{k!}}\left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }B_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1}){\frac {t^{n}}{n!}},\qquad k=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02970423694058e3e0eaa407de58d25cf69c1438)
Повні експоненційні поліноми Белла визначається за допомогою
або інакше:
![{\displaystyle \Phi (t,1)=\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {t^{n}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ce768817d826496a8dc5867122c5034c9652acc)
Таким чином, n -й повні поліноми Белла задається як
![{\displaystyle B_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left.\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{n}\exp \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}{\frac {t^{j}}{j!}}\right)\right|_{t=0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f8c5adb10e1ce46b58e35fed5cf37f64152773)
Так само звичайні часткові поліноми Белла можна визначити твірною функцією
![{\displaystyle {\hat {\Phi }}(t,u)=\exp \left(u\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)=\sum _{n\geq k\geq 0}{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}{\frac {u^{k}}{k!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d992033f62d975b9cbabfc60e310693e442705e)
Або, що еквівалентно, розкладом у ряд k-ї степеня:
![{\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{\infty }x_{j}t^{j}\right)^{k}=\sum _{n=k}^{\infty }{\hat {B}}_{n,k}(x_{1},\ldots ,x_{n-k+1})t^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee521d1d632d4ae5b60c0787a94b01b5464b5408)
Дивись також перетворення твірної функції для розкладу у ряд твірної функцій поліномів Белла що є композицією послідовностей твірних функцій та степенів, логаритмів та експоненційної функції, що послідовності твірних функцій. Кожна з цих формул можна знайти у відповідних розділах праці Комтета.
Повні поліноми Белла можна визначити за допомогою рекурентних співвідношень як
![{\displaystyle B_{n+1}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})x_{i+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7c4a7a474646c423fe9f682788a6de848e81e1)
з початковим значенням
.
Часткові поліноми Белла також можна ефективно обчислені рекурентним співвідношенням:
де
![{\displaystyle B_{0,0}=1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2991221d8bfec82902425194feeea3a0ec442f)
![{\displaystyle B_{n,0}=0{\text{ for }}n\geq 1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc60e9853442c2290989a441b1c3abfece7d842b)
Повні поліноми Белла також задовольняють такій диференціальній рекурентній формулі:
Повні поліноми Белла можна виразити у вигляді визначника:
Значення поліномів Белла Bn,k (x1, x2, ...) для набору факторіалів дорівнює числу Стірлінга першого роду (без знаку):
![{\displaystyle B_{n,k}(0!,1!,\dots ,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)|=\left[{n \atop k}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80296b6db513e5a685baf814971bb0b99c0fd4d5)
Поліноми Белла Bn, k (x1, x2, ...) від набору одиниць дорівнює числам Стірлінга другого роду :
![{\displaystyle B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=S(n,k)=\left\{{n \atop k}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925e9e4d5b0c074a48594f7ffbf86ed9a42b2933)
Сума цих значень дає значення повного полінома Белла від набору одиниць:
![{\displaystyle B_{n}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(1,1,\dots ,1)=\sum _{k=1}^{n}\left\{{n \atop k}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3465e93bd3166a24a0dbdc3f65999a1e6d1d932e)
що є n-м числом Белла.
Якщо ми визначимо
![{\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(k-1)!B_{n,k}(y_{1},\ldots ,y_{n-k+1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84dbdda18620a84a50301e3ff6d21bc6a574c36)
то ми маємо таке зворотне співвідношення
![{\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2ef3912cbb8966f32b4bd91a527938214949fb)
Поліноми Тушара
може бути виражена як значення повного многочлена Белла від аргументів, що всі дорівнюють х:
![{\displaystyle T_{n}(x)=B_{n}(x,x,\dots ,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f270d47c85fe88df385af1b679edecb196cad3)
Для послідовностей x n, y n, n = 1, 2, ..., визначте згортку по:
![{\displaystyle (x{\mathbin {\diamondsuit }}y)_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{n \choose j}x_{j}y_{n-j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2ef3912cbb8966f32b4bd91a527938214949fb)
Межі підсумовування — 1 і n — 1, а не 0 і n.
Дозволяти
— n-й член послідовності
![{\displaystyle \displaystyle \underbrace {x{\mathbin {\diamondsuit }}\cdots {\mathbin {\diamondsuit }}x} _{k{\text{ factors}}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c53c734475494a47013090621c682ceec28139e)
Тоді [3]
![{\displaystyle B_{n,k}(x_{1},\dots ,x_{n-k+1})={x_{n}^{k\diamondsuit } \over k!}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24df09124d4a1da98e42742190ac82d9e44187b)
Наприклад, давайте обчислити
. Ми маємо
![{\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0,\ 2x_{1}^{2}\ ,\ 6x_{1}x_{2}\,\ 8x_{1}x_{3}+6x_{2}^{2}\,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0174e5a438ed2c6a664535d2115b4d9aaa49c46c)
![{\displaystyle x{\mathbin {\diamondsuit }}x{\mathbin {\diamondsuit }}x=(0\ ,\ 0\ ,\ 6x_{1}^{3}\,\ 36x_{1}^{2}x_{2}\,\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144a25b254682ad4a39d0755d0df395918dd615f)
і, таким чином,
що надає число Лаха.
що повертає ідемпотентне число.
- Повний многочлен Белла задовольняє відношення типу двочлена:
![{\displaystyle B_{n}(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n})=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}B_{n-i}(x_{1},\ldots ,x_{n-i})B_{i}(y_{1},\ldots ,y_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fdc4a3ab3aea3580bf8dac93fbd2fab87f70b3e)
![{\displaystyle B_{n,k}{\Bigl (}{\frac {x_{q+1}}{\binom {q+1}{q}}},{\frac {x_{q+2}}{\binom {q+2}{q}}},\ldots {\Bigr )}={\frac {n!(q!)^{k}}{(n+qk)!}}B_{n+qk,k}(\ldots ,0,0,x_{q+1},x_{q+2},\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1921b9716cf40b5be4cbe29241c830a0c885d691)
Це виправляє опущення фактора
у книзі Конта.
- Коли
,
![{\displaystyle B_{n,n-a}(x_{1},\ldots ,x_{a+1})=\sum _{j=a+1}^{2a}{\frac {j!}{a!}}{\binom {n}{j}}(x_{1})^{n-j}B_{a,j-a}{\Bigl (}{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\ldots ,{\frac {x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}}{\Bigr )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c508e8ec3f92c826224038ecd60c5ae2eda9870)
- Особливі випадки часткових многочленів Белла:
![{\displaystyle {\begin{aligned}B_{n,1}(x_{1},\ldots ,x_{n})={}&x_{n}\\[8pt]B_{n,2}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})={}&{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x_{k}x_{n-k}\\[8pt]B_{n,n}(x_{1})={}&(x_{1})^{n}\\[8pt]B_{n,n-1}(x_{1},x_{2})={}&{\binom {n}{2}}(x_{1})^{n-2}x_{2}\\[8pt]B_{n,n-2}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&{\binom {n}{3}}(x_{1})^{n-3}x_{3}+3{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}(x_{2})^{2}\\[8pt]B_{n,n-3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&{\binom {n}{4}}(x_{1})^{n-4}x_{4}+10{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{2}x_{3}+15{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}(x_{2})^{3}\\[8pt]B_{n,n-4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&{\binom {n}{5}}(x_{1})^{n-5}x_{5}+5{\binom {n}{6}}(x_{1})^{n-6}{\bigl [}3x_{2}x_{4}+2(x_{3})^{2}{\bigr ]}+105{\binom {n}{7}}(x_{1})^{n-7}(x_{2})^{2}x_{3}\\{}&{}+105{\binom {n}{8}}(x_{1})^{n-8}(x_{2})^{4}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67cc0fe36f755e6569fab1492668644ce4dd295)
Перші декілька повних многочленів Белла:
![{\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}={}&1,\\[8pt]B_{1}(x_{1})={}&x_{1},\\[8pt]B_{2}(x_{1},x_{2})={}&x_{1}^{2}+x_{2},\\[8pt]B_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})={}&x_{1}^{3}+3x_{1}x_{2}+x_{3},\\[8pt]B_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})={}&x_{1}^{4}+6x_{1}^{2}x_{2}+4x_{1}x_{3}+3x_{2}^{2}+x_{4},\\[8pt]B_{5}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})={}&x_{1}^{5}+10x_{2}x_{1}^{3}+15x_{2}^{2}x_{1}+10x_{3}x_{1}^{2}+10x_{3}x_{2}+5x_{4}x_{1}+x_{5}\\[8pt]B_{6}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6})={}&x_{1}^{6}+15x_{2}x_{1}^{4}+20x_{3}x_{1}^{3}+45x_{2}^{2}x_{1}^{2}+15x_{2}^{3}+60x_{3}x_{2}x_{1}\\&{}+15x_{4}x_{1}^{2}+10x_{3}^{2}+15x_{4}x_{2}+6x_{5}x_{1}+x_{6},\\[8pt]B_{7}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7})={}&x_{1}^{7}+21x_{1}^{5}x_{2}+35x_{1}^{4}x_{3}+105x_{1}^{3}x_{2}^{2}+35x_{1}^{3}x_{4}\\&{}+210x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+105x_{1}x_{2}^{3}+21x_{1}^{2}x_{5}+105x_{1}x_{2}x_{4}\\&{}+70x_{1}x_{3}^{2}+105x_{2}^{2}x_{3}+7x_{1}x_{6}+21x_{2}x_{5}+35x_{3}x_{4}+x_{7}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9601065e082a0079a81671a8361d2d6d0332b2cc)
Формула Фаа ді Бруно може бути викладена з точки зору поліномів Белла наступним чином:
![{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ddbbc854676bf6967d276175c0c3662ca74a530)
Аналогічно, версію формули Фаа ді Бруно можна подати з використанням многочленів Белла наступним чином. Припустимо
Тоді
Зокрема, повні поліноми Белла фігурують у розкладі експоненти формальний степеневий ряд:
що також представляє генератису для експоненти повних многочленів Белла на фіксованій послідовності аргументів
.
Нехай дві функції f і g виражаються у формальних рядах потужностей як
![{\displaystyle f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}},\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f473f60c61f13baba7164392b7d7491d10d7058)
такий, що g — композиційна інверсія f, визначена g(f (w)) = w або f (g(z)) = z. Якщо f0 = 0 і f1 ≠ 0, то явна форма коефіцієнтів оберненої може бути задана в терміні многочленів Белла як
![{\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2513576a6221070a3933c718cb1c1b45300eb7d8)
з
і
— це фактор, що зростає, і
Елементарний симетричний многочлен
і степеневий многочлен суми потужності
можуть бути пов'язані один з одним за допомогою поліномів Белла як:
Ці формули дозволяють виразити коефіцієнти монічних поліноми через поліноми Белла з нульовими аргументами. Наприклад, разом із теоремою Кейлі — Гамільтона вони призводять до вираження детермінантної n × n квадратної матриці A через сліди її потужностей:
![{\displaystyle \det(A)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}B_{n}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}),~\qquad {\text{where }}s_{k}=(-1)^{k-1}(k-1)!\operatorname {tr} (A^{k}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6d2b2fdbcb5bcad62377aa56c4537c2ce8a4de)
Індекс циклу симетричної групи
можна виразити через повні многочлени Белла так:
![{\displaystyle Z(S_{n})={\frac {B_{n}(0!\,a_{1},1!\,a_{2},\dots ,(n-1)!\,a_{n})}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2513576a6221070a3933c718cb1c1b45300eb7d8)
Поліноми Ерміта імовірністів можна виразити через поліноми Белла як
![{\displaystyle \operatorname {He} _{n}(x)=B_{n}(x,-1,0,\ldots ,0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5a64ae157c0c5bf53a5076fe03f57866d807bc)
де xi = 0 для всіх i > 2; що передбачає комбінаторну інтерпретацію коефіцієнтів поліномів Ерміта. Це можна побачити, порівнюючи генератрису поліномів Ерміта
![{\displaystyle \exp \left(xt-{\frac {t^{2}}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\operatorname {He} _{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d25ae83ddf0b84c08b5a03ab43ec28ec6abf673)
з поліномами Белла.
Поліноми Белла реалізовані в: