Формула Фаа ді Бруно

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Формула Фаа ді Бруноматематична тотожність, що узагальнює правило ланцюга до вищих похідних, названих на честь Франческо Фаа ді Бруно, хоча він не був першим, хто заявив або довів цю формулу. У 1800 році, понад 50 років до Фаа ді Бруно, французький математик Луї Франсуа Антуан Арбогаст виклав формулу в підручнику з обчисленням [1] вважаючи першим опублікованим посилання на цю тему. [2]

Найвідоміша форма формули Фаа ді Бруно виглядає як

де сума біжить по всім n-кортежам невід’ємних цілих чисел (m1, ..., mn), що задовольняють умові

Іноді, щоб надати йому пам’ятну картину, вона записується так, що коефіцієнти, що мають комбінаторне тлумачення, про які йде мова нижче, менш явні:

Поєднання доданків з однаковим значенням m1 + m2 + ... + mn = k і помічаючи, що mj має дорівнювати нулю для j > n − к +1 призводить до дещо простішої формули, вираженої в термінах многочленів Белла Bn,k (x1, ..., xnk +1):

Комбінаторна форма[ред. | ред. код]

Формула має "комбінаторну" форму:

де

  • π проходить через безліч Π всіх розбиттів множини {1, ..., n },
  • " Bπ " означає змінну B, що проходить через список усіх "блоків" розбиття π, і
  • |А| позначає кардинальність множини A (так що |π| - кількість блоків у розділі π а |B| - розмір блоку B).

Приклад[ред. | ред. код]

Далі йде конкретне пояснення комбінаторної форми для n = 4 випадку.

Шаблон:

Фактор відповідає розбиттю 2 + 1 + 1 цілого числа 4 очевидним чином. Фактор що йде з нею, відповідає тому, що в цьому розділі є три суми. Коефіцієнт 6, що відповідає цим факторам, відповідає тому, що існує рівно шість розбиттів множини з чотирьох членів, які розбивають його на одну частину розміром 2 та дві частини розміром 1.

Аналогічно фактор у третьому рядку відповідає розділ 2 + 2 цілого числа 4, (4, оскільки ми знаходимо четверту похідну), тоді як відповідає тому, що існує дві суми (2 + 2) у тому розділі. Коефіцієнт 3 відповідає тому, що є способи розподілу 4 об'єктів на групи   2. Це ж поняття стосується і інших.

Схема для запам'ятовування:

Комбінаторика коефіцієнтів Фаа ді Бруно[ред. | ред. код]

Ці коефіцієнти Фаа ді Бруно для розбиттів мають "замкнену форму". Кількість робиттів множини розміром n, що відповідає розбиттю числа

цілого числа n дорівнює

Ці коефіцієнти виникають і в поліномах Белла, які мають відношення до дослідження кумулянтів.

Варіації[ред. | ред. код]

Версія з багатьма змінними[ред. | ред. код]

Нехай y = g (x1, ..., xn). Тоді виконується наступна ідентичність незалежно від того, чи є всі n змінних різними, або всі є однаковими, або ж розділені на кілька розрізнених класів нерозрізнювальних змінних (якщо це здається неясним, дивись зрозумілий приклад нижче): [3]

де (як вище)

  • π пробігає по всій множині Π всіх розбиттів множини {1, ..., n },
  • "Bπ" означає змінну B, що проходить через список усіх "блоків" розділу π, і
  • |А| позначає кардинальність множини A (так що |π| - кількість блоків у розділі π а |B| - розмір блоку B ).

Більш загальні версії стосуються випадків, коли всі функції мають значення векторного та навіть банахового простору. У цьому випадку потрібно розглянути похідну Фреше або похідну Гато .

Приклад

П'ять членів у наступному виразі очевидним чином відповідають п'яти розділам множини {1, 2, 3}, і в кожному випадку порядок похідної f - кількість частин у розділі:

Якщо три змінні не відрізняються одна від одної, то три з п'яти вищезазначених доданків також не відрізняються один від одного, і тоді ми маємо класичну формулу для однієї змінної.

Офіційна версія серії живлення[ред. | ред. код]

Припустимо і є формальними степеневими рядами та .

Потім композиція знову формальний силовий ряд,

де c0 = a0, а інший коефіцієнт cn для n ≥ 1 можна виразити у вигляді суми за композиціями n або як еквівалентної суми зарозбиттями n:

де

набір композицій n з k, що позначає кількість деталей,

або

де

- це набір розділів n на k частин у формі частоти частин.

Перша форма отримується вибором коефіцієнта xn в "шляхом огляду", а друга форма потім отримується шляхом збирання подібних доданків або, альтернативно, шляхом застосування поліноміальної теореми.

Особливий випадок f (x) = ex, g (x) = ∑n ≥ 1 an/n ! xn дає експоненціальну формулу . Особливий випадок f (x) = 1/(1− x), g(x) = ∑n≥1(-an) xn дає вираз для оберненого формального ряду степеней ∑n ≥ 0 an xn у випадку a0 = 1.

Стенлі [4] надає версію для експоненціальних силових рядів. Для формального степеневого ряду

маємо n-похідну у 0:

Це не слід тлумачити як значення функції, оскільки цей ряд суто формальні; у цьому контексті немає такого поняття, як збіжність чи розбіжність.

і

і

тоді коефіцієнт cn (що є n-тою похідною від h, взята у точці 0, якщо ми маємо справу з збіжними рядами, а не формальними рядами потужності) задається

де π проходить через безліч усіх розділів множини {1, ..., n} і B1, . . ., Bk - блоки розділу π, та | Bj | - кількість членів j-го блоку, для j = 1, ..., к .

Цей варіант формули особливо добре підходить для цілей комбінаторики .

Ми також можемо записати враховуючи наведенні вище позначення

де Bn,k (a 1, ..., ank +1)- поліноми Белла .

Особливий випадок[ред. | ред. код]

Якщо f (x) = ex, то всі похідні f є однаковими і є фактором, спільним для кожного члена. У випадку, коли g ( x ) є твірною функцією кумулянтів, тоді f (g (x)) - є твірною функцією моментів, а многочлен у різних похідних g - це многочлен, який виражає моменти як функції кумулянтів .

Примітки[ред. | ред. код]

  1. (Arbogast, 1800).
  2. According to Craik, (2005, с. 120–122): see also the analysis of Arbogast's work by Johnson, (2002).
  3. Hardy, Michael (2006). Combinatorics of Partial Derivatives. Electronic Journal of Combinatorics. 13 (1): R1. Архів оригіналу за 24 лютого 2012. Процитовано 7 липня 2020. 
  4. See the "compositional formula" in Chapter 5 of Stanley, Richard P. (1999). Enumerative Combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55309-4. Архів оригіналу за 5 жовтня 2008. Процитовано 7 липня 2020. 

Список літератури[ред. | ред. код]

Історичні дослідження та нариси[ред. | ред. код]

Науково-дослідні роботи[ред. | ред. код]

Зовнішні посилання[ред. | ред. код]

  • Weisstein, Eric W. "Faa di Bruno's Formula". MathWorld.