Структурна теорема для скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів

Структурна теорема для скінченнопороджених модулів над областями головних ідеалів є узагальненням теореми про класифікацію скінченнопороджених абелевих груп. Ця теорема надає загальний спосіб розуміння деяких результатів про канонічні форми матриць.

Теорема

Якщо векторний простір над полем k має скінченну породжувальну множину, з нього завжди можна вибрати базис, так що векторний простір буде ізоморфним kⁿ. Для скінченнопороджених модулів це вже неправильно (контрприклад — $\mathbb {Z} _{2}$, який породжується одним елементом як Z-модуль), однак такий модуль можна подати як фактормодуль виду Rⁿ/A (щоб побачити це, досить відобразити базис Rⁿ у породжувальну множину і скористатися теоремою про гомоморфізм). Змінюючи вибір базису в Rⁿ і породжувальної множини в модулі, можна звести цей фактор до простого вигляду, і це дає структурну теорему.

Формулювання структурної теореми зазвичай наводять у двох різних виглядах.

Розкладання на інваріантні фактори

Кожен скінченнопороджений модуль M над областю головних ідеалів R ізоморфний єдиному модулу виду

$\bigoplus _{i}R/(d_{i})=R/(d_{1})\oplus R/(d_{2})\oplus \cdots \oplus R/(d_{n}),$

де $(d_{i})\neq R$ і $d_{i}\vert d_{i+1}$ (тобто $d_{i+1}$ ділиться на $d_{i}$). Порядок ненульових $(d_{i})$ визначений однозначно, як і число $(d_{i})=0$.

Таким чином, для вказання скінченнопородженого модуля M достатньо вказати ненульові $(d_{i})$ (що задовольняють двом умовам) і число рівних нулю $(d_{i})$. Елементи $d_{i}$ визначені однозначно з точністю до множення на оборотні елементи кільця і називаються інваріантними факторами.

Розкладання на примарні фактори

Кожен скінченнопороджений модуль M над областю головних ідеалів R ізоморфний єдиному модулю виду

$\bigoplus _{i}R/(q_{i}),$

де $(q_{i})\neq R$ і всі $(q_{i})$ — примарні ідеали. При цьому самі $q_{i}$ визначено однозначно (з точністю до множення на оборотні елементи).

У випадку, коли кільце R є евклідовим, усі примарні ідеали — це степені простих, тобто $(q_{i})=(p_{i}^{r_{i}})$.

Начерк доведення для евклідових кілець

Багато областей головних ідеалів є також евклідовими кільцями. До того ж, доведення для евклідових кілець дещо простіше; тут наведено його основні кроки.

Лема. Нехай A — евклідова кільце, M — вільний A-модуль, а N — його підмодуль. Тоді N також вільний, його ранг не перевершує рангу M, причому існує такий базис {e₁, e₂, … e_m} модуля M і такі ненульові елементи {u₁, … u_k} кільця A, що {u₁e₁, … u_ke_k} — базис N і u_i+1 ділиться на u_i.

Доведення того, що N вільний, проводиться індукцією за m. База m = 0 очевидна, доведемо крок індукції. Нехай M₁ породжено елементами {e₁, e … _m-1}, N₁ — перетин M₁ і N — за припущенням індукції вільний. Останні координати елементів N у базисі {e₁, e … _m} утворюють підмодуль кільця A (тобто ідеал), A — кільце головних ідеалів, тому цей ідеал породжений одним елементом; якщо ідеал нульовий — N збігається з N₁, якщо ж він породжений елементом k, досить додати в базис N₁ один вектор, остання координата якого дорівнює k.

Тепер ми можемо написати матрицю з елементами з A, відповідну вкладенню N в M: у стовпцях матриці запишемо координати базисних векторів N у деякому базисі M. Опишемо алгоритм зведення цієї матриці до діагонального вигляду елементарними перетвореннями. Міняючи місцями рядки і стовпці, перемістимо у верхній лівий кут ненульовий елемент a з найменшою нормою. Якщо всі елементи матриці на нього діляться — віднімаємо перший рядок від інших з таким коефіцієнтом, щоб усі елементи першого стовпця (крім першого елемента) стали нульовими; потім аналогічно віднімаємо перший стовпець і переходимо до перетворень квадрата, що залишився в правому нижньому куті, розмірність якого на одиницю менша. Якщо ж є елемент b, що не ділиться на a — можна зменшити мінімум норми за ненульовими елементами матриці, застосувавши до пари (a, b) алгоритм Евкліда (елементарні перетворення дозволяють це зробити). Оскільки норма — натуральне число, ми рано чи пізно прийдемо до ситуації, коли всі елементи матриці діляться на a. Легко бачити, що по закінченню роботи цього алгоритму базиси M і N задовольняють усім умовам леми.

Закінчення доведення. Розглянемо скінченнопороджений модуль T з системою твірних {e₁, e … _m}. Існує гомоморфізм з вільного модуля $A^{m}$ у цей модуль, який відображає базис $A^{m}$ у систему породжувальних. Застосувавши до цього відображення теорему про гомоморфізм, отримаємо, що T изоморфний фактору $A^{m}/{\text{ker}}f$. Зведемо базиси $A^{m}$ і ${\text{ker}}f$ до вигляду базисів у лемі. Легко бачити, що

$A^{m}/(u_{1}e_{1},u_{2}e_{2},\ldots u_{k}e_{k})\cong A/(u_{1})\oplus \ldots \oplus A/(u_{k})\oplus A^{n-k}$

Кожен скінченний доданок тут можна розкласти в добуток примарних, оскільки кільце A факторіальне (див. статтю Китайська теорема про остачі). Щоб довести єдиність цього розкладу, потрібно розглянути підмодуль скруту (тоді розмірність вільної частини описується в інваріантних термінах як розмірність фактора за крученням), а також підмодуль p-кручення для кожного простого елемента p кільця A. Число доданків вигляду $A/(p^{n})$ (для всіх n) інваріантно описується як розмірність підмодуля елементів, які анулюються множенням на p, як векторного простору над полем $A/(p)$.

Наслідки

Випадок $R=\mathbb {Z}$ дає класифікацію скінченнопороджених абелевих груп.

Нехай T — лінійний оператор на скінченновимірному векторному просторі V над полем K. V можна розглядати як модуль над $K[T]$ (дійсно, його елементи можна множити на скаляри та на T), зі скінченновимірності випливає скінченнопородженість і відсутність вільної частини. Останній інваріантний фактор — мінімальний многочлен, а добуток усіх інваріантних факторів — характеристичний многочлен. Вибравши стандартну форму матриці оператора T, що діє на просторі $K[T]/p(T)$, отримуємо такі форми матриці T на просторі V:

• інваріантні фактори + супутня матриця дає фробеніусову нормальну форму
• примарні фактори + жорданів блок дає жорданову нормальну форму (у випадку, коли поле K алгебрично замкнуте).

Див. також

• Нормальна форма Сміта

Примітки

• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Бурбаки Н. Алгебра ч.3 Модули, кольца, формы. — М. : Наука, 1966. — С. 555. — (Елементи математики)(рос.)
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3.
• Hungerford, Thomas W. (1980), Algebra, New York: Springer, с. 218—226, Section IV.6: Modules over a Principal Ideal Domain, ISBN 978-0-387-90518-1