Теорема Фробеніуса (диференціальна геометрія)

Теоремою Фробеніуса у математиці називають кілька пов'язаних результатів у теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними і диференційній геометрії. В своїй загальній формі теорема є одним з основних результатів сучасної диференційної геометрії і має також застосування в диференційній топології і теорії груп Лі.

Твердження для систем диференційних рівнянь з частинними похідними

Нехай U — відкрита підмножина в $\mathbb {R} ^{p}$, V — відкрита підмножина в $\mathbb {R} ^{n-p}$, і для всіх $1\leq k\leq n-p,1\leq h\leq p$, функції $B_{h}^{k}:U\times V\rightarrow \mathbb {R}$ належать класу $C^{r}$ ($1\leq r\leq +\infty$). Тоді можна розглянути систему рівнянь з частинними похідними, яку також називають «системою Пфаффа»

(*)::${\frac {\partial v^{k}}{\partial x^{h}}}=B_{h}^{k}\left(x^{1},...,x^{p},v^{1},...,v^{n-p}\right)\quad \left(1\leq k\leq n-p,1\leq h\leq p\right),$ де $v^{k}=v^{k}\left(x^{1},...,x^{p}\right).$ Позначимо $x=(x^{1},...,x^{p})$ і $v=(v^{1},...,v^{n-p}).$

Система (*) називається інтегровною, якщо для кожної точки $(x_{0},v_{0})\in U\times V$ існують окіл $S\subset U$ точки $x_{0}$, окіл $T\subset V$ точки $v_{0}$ і єдині функції $v(x)=(v^{1}(x),...,v^{n-p}(x))$ для яких виконуються умови:

1. $v(x_{0})=v_{0}$
2. $v(S)=T$
3. $\forall s\in S$ справедлива система рівнянь (*).

Теорема Фробеніуса стверджує, що система рівнянь (*) є інтегровною на $U\times V$ якщо в кожній точці цієї множини виконуються рівності:

${\frac {\partial B_{h}^{k}}{\partial x^{l}}}+\sum _{j=1}^{n-p}{\frac {\partial B_{h}^{k}}{\partial v^{j}}}B_{l}^{j}={\frac {\partial B_{l}^{k}}{\partial x^{h}}}+\sum _{j=1}^{n-p}{\frac {\partial B_{l}^{k}}{\partial v^{j}}}B_{h}^{j}$

$\left(1\leq k\leq n-p,1\leq l\leq p,1\leq h\leq p\right).$

Формулювання теореми в диференціальній геометрії

Нехай $M$ — гладкий многовид. p-вимірним розподілом на цьому многовиді називається відображення $\Delta :M\ni y\mapsto \Delta _{y}$ де образ відображення $\Delta _{y}$ є підпростором розмірності p дотичного простору $T_{y}\left(M\right)$ многовиду M в точці y. Розподіл належить класу $C^{\infty }$ якщо для кожної точки $x\in M$, існує окіл U точки y і векторні поля $X_{1},...,X_{p}$ класу $C^{\infty }$ на U такі що $X_{1}(y),...,X_{p}(y)$ є базисом простору $\Delta _{y}$ для всіх $y\in U.$ Векторне поле X класу $C^{\infty }$ належить розподілу $\Delta$ якщо $X(y)\in \Delta _{y}$ для всіх $y\in M.$ Розподіл називають інволютивним, якщо для довільних векторних полів $X_{1},X_{2}\in \Delta$ класу $C^{\infty }$ справедливо також $\left[X_{1},X_{2}\right]\in \Delta .$

Теорема Фробеніуса стверджує, що p-вимірний розподіл $\Delta$ є інволютивним тоді й лише тоді коли для кожної точки $y\in M$ існує координатний окіл U точки y з координатними функціями $x_{1},...,x_{n}$ такий, що для кожної точки $r\in U$ вектори ${\frac {\partial }{\partial x_{1}}},...,{\frac {\partial }{\partial x_{p}}}$ утворюють базис простору $\Delta _{r}.$

Множини де $x_{p+1},...,x_{n}=const$ у координатах визначених в теоремі очевидно будуть підмноговидами в U для яких $\Delta$ у відповідній області визначення є дотичним розшаруванням. Кожен такий многовид називається інтегральним многовидом для $\Delta .$

Доведення

Якщо p-вимірний розподіл $\Delta$ у кожній точці $x\in M$ є дотичним простором підмноговиду виду $x_{p+1},...,x_{n}=const$ для деякої системи координат в околі точки, то очевидно цей розподіл є інволютивним адже дужка Лі двох дотичних векторів для підмноговиду теж буде дотичним вектором для підмноговиду.

Обернене твердження можна довести за індукцією. Для випадку $p=1$ розподіл є автоматично інволютивним адже локально у цьому випадку розподіл задається векторним полем $X$ і векторні поля, що належать одновимірному розподілу локально мають вигляд $fX$ і $gX$ для диференційовних функцій $f,g.$ Тоді:

$[fX,gX](h)=(fX)(gXh)-(gX)(fXh)=f\cdot Xg\cdot Xh+fg\cdot XXh-g\cdot Xf\cdot Xh-fg\cdot XXh=(f\cdot Xg-g\cdot Xf)\cdot Xh$

тобто $[fX,gX]=(f\cdot Xg-g\cdot Xf)\cdot X$і дужка Лі належить одновимірному розподілу.

Випадок p = 1

Нехай $X$ є векторним полем в околі точки $x\in M$ і дотичний вектор $X_{x}$ у цій точці не є рівним нулю. Тоді існує координатний окіл із координатами $x_{1},...,x_{n}$ для точки $x$ для якого ${\frac {\partial }{\partial x_{1}}}$ є рівним $X$.

Нехай в околі $U$ точки $x\in M$ задані координатні функції $y_{1},...,y_{n}$ індуковані відображенням $\varphi$ околу на відкриту кулю $B(0,s)\subset \mathbb {R} ^{n}$ із центром на початку координат і радіусом $s.$ При цьому координати завжди можна вибрати так, що $y_{1}(x)=y_{2}(x)=\ldots =y_{n}(x)=0$ і ${\frac {\partial }{\partial y_{1}}}(x)=X_{x}.$ Векторне поле $X$ у околі $U$ є рівним $X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\frac {\partial }{\partial y_{i}}},$ де функції $a_{i}\in C^{\infty }(U).$ За побудовою $a_{1}(x)=1>0$ і тому зменшивши при потребі $U$ можна вважати, що $a_{1}>0$ в усьому околі $U.$

Розглянемо диференціальні рівняння для інтегральних кривих для векторного поля $X$ у цих координатах. Рівняння задаються як:

${\frac {\partial y_{i}}{\partial t}}=a_{i}(y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)),\quad 1=1,\ldots ,n.$

Згідно теореми Пікара — Лінделефа для кожної точки $b\in {\bar {B}}(0,r)$ — замкнутій кулі із радіусом $r<s$ існує деякий проміжок $t_{-}<0<t_{+}$ і відображення $F_{b}(t)\ :\ (t_{-},t_{+})\to \mathbb {R} ^{n}$ такі, що $F_{b}(0)=b$ і координатні функції відображення $F_{b}(t)$ на проміжку $t_{-}<t<t_{+}$ є розв'язками системи диференціальних рівнянь (відповідно $\varphi ^{-1}(F_{b}(t))$ є інтегральною кривою для векторного поля $X$) із початковою умовою $F_{b}(0)=b$. Якщо вибрати для кожного $b\in {\bar {B}}(0,r)$ максимальний можливий проміжок $(t_{-},t_{+}),$ то $t_{-}$ буде напівнеперервною зверху, а $t_{+}$ — напівнеперервною знизу функціями від $b.$ Із властивостей напівнеперервних функцій $t_{+}$ досягає свого мінімуму, $t_{-}$ свого максимуму компактній множині ${\bar {B}}(0,r)$. Згідно теореми Пікара — Лінделефа $0<\min t_{+}$ і $\max t_{-}<0$. Позначимо тепер ${\bar {t}}=\min(\min t_{+},\max t_{-}).$ Тоді, оскільки розв'язки диференціальних рівнянь неперервно залежать від початкових умов, одержується відображення $F(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\ :\ (-{\bar {t}},{\bar {t}})\times {\bar {B}}(0,r)\to {\bar {B}}(0,s)$ для якого $F(0,x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\bar {B}}(0,r)$і для кожного конкретного $(x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\bar {B}}(0,r)$відображення $F(t,x_{1},\ldots ,x_{n}),\ t\in (-{\bar {t}},{\bar {t}})$ є розв'язком системи диференціальних рівнянь із відповідною початковою умовою.

Розглянемо тепер відображення $G:[-{\bar {t}},{\bar {t}}]\times {\bar {B}}_{1}(0,r)\to U\subset M,$ (де куля ${\bar {B}}_{1}(0,r)\subset \mathbb {R} ^{n-1}$ має розмірність на 1 меншу, ніж ${\bar {B}}(0,r)$), задане як $G(t,x_{2},\ldots ,x_{n})=\varphi ^{-1}(F(t,0,x_{2},\ldots ,x_{n})).$ Для фіксованих $(x_{2},\ldots ,x_{n})$ образом $G(t,x_{2},\ldots ,x_{n})$ є інтегральні криві, тобто $\operatorname {d} G\left({\partial \over \partial t}\right)=X.$ Зокрема $\operatorname {d} G\left({\partial \over \partial t}\right)(0,\ldots ,0)={\partial \over \partial y_{1}}(x)=X_{x}.$ Також для $t=0$ відображення $G(0,x_{2},\ldots ,x_{n})=\varphi ^{-1}(0,x_{2},\ldots ,x_{n})$ і тому у цих точках $\operatorname {d} G\left({\partial \over \partial x_{i}}\right)={\partial \over \partial y_{i}},\ i\in 2,\ldots ,n.$

Відповідно у точці $(0,\ldots ,0)$ диференціал $\operatorname {d} G_{(0,\ldots ,0)}$ є рівним диференціалу $\operatorname {d} (\varphi ^{-1})_{(0,\ldots ,0)}$, зокрема $\operatorname {d} G_{(0,\ldots ,0)}$ є невиродженим і з теореми про обернене відображення випливає, що в деякому околі $(0,\ldots ,0)$ відображення $G$ є дифеоморфізмом. Тоді $G^{-1}$ є координатним відображення у деякому околі $V$ точки $x$ і з побудови координатні лінії для перших координат будуть інтегральними кривими для $X$, тобто ${\frac {\partial }{\partial x_{1}}}=X,$ що завершує доведення у цьому випадку.

Крок індукції

Припустимо, що твердження є доведеним для всіх чисел менших p. Нехай $X_{1},\ldots ,X_{p}$ є векторними полями, що в кожній точці деякого околу $U_{1}$ точки $x\in M$ утворюють базис розподілу $\Delta$. Згідно попереднього у деякому околі $x\in U_{2}\subset U_{1}$ можна підібрати координати так, щоб ${\frac {\partial }{\partial y_{1}}}=X_{1}$ і всі координати точки $x$ були нульовими.

Розглянемо розподіл ${\bar {\Delta }}$ який у точках $u\in U_{2}$ заданий як ${\bar {\Delta }}_{u}=\{X_{u}\in \Delta _{u}:X_{u}y_{1}=0\}.$ Цей розподіл є розподілом класу $C^{\infty }$ і розмірності p-1 на $U_{2}$ оскільки векторні поля $Y_{i}=X_{i}-(X_{i}y_{1})X_{1},\ i\in 2,\ldots ,p$ утворюють його базис на $U_{2}$. Також якщо $Y,Z\in {\bar {\Delta }},$ то $[Y,Z]y_{1}=Y(Zy_{1})-Z(Yy_{1})=0,$ тож ${\bar {\Delta }}$ є інволютивним.

Позначимо $V_{0}$ — шар у $U_{2}$ для якого $y_{1}=0.$ Тоді у точках $v\in V_{0}$ розподіл ${\bar {\Delta }}_{v}$ є підмножиною дотичного простору $(V_{0})_{v}$ і з припущення індукції на деякому околі $V_{1}\subset V_{0}$ (що містить точку $x$) існує система координат $z_{2},...,z_{n}$ така, що ${\frac {\partial }{\partial z_{2}}},...,{\frac {\partial }{\partial z_{p}}}$ утворюють базис ${\bar {\Delta }}$ на $V_{1}.$

Нехай тепер $\pi :U_{2}\to V_{0}$ є відображенням, що переводить точку із координатами $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ у точку із координатами $(0,y_{2},\ldots ,y_{n})$ і $U_{3}=\pi ^{-1}(V_{1}).$ На $U_{3}$ можна ввести функції $x_{1}=y_{1},x_{2}=z_{2}\circ \pi ,\ldots ,x_{n}=z_{n}\circ \pi .$ У точці $x$ дотичний вектор $\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right)_{x}$ є рівним дотичному вектору $\left({\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)_{x}$, а дотичні вектори $\left({\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right)_{x},...,\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)_{x}$ утворюють базис дотичного простору до $V_{0}$ у цій точці. Тому у деякому околі $x\in U\subset U_{3}$ функції $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ утворюють систему координат.

Для того щоб довести, що ${\frac {\partial }{\partial x_{1}}},...,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ утворюють базис ${\bar {\Delta }}$ на $U$ достатньо довести, що їх лінійна оболонка є рівною лінійній оболонці векторних полів $Y_{1}=X_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p}$. Для цього достатньо показати, що $Y_{i}x_{j}=0,\quad i\in 1,\ldots ,p,\ j\in p+1,\ldots ,n.$ Оскільки $Y_{1}=X_{1}={\frac {\partial }{\partial y_{1}}}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}},$ то $Y_{1}x_{j}=0,\ j>1.$ Оскільки розподіл є інволютивним, то для $i,k\in 1,\ldots ,p$ існують диференційовні функції $\Gamma _{ik}^{r}$ для яких $[Y_{i},Y_{k}]=\sum _{r=1}^{p}\Gamma _{ik}^{r}Y_{r}.$ Тому для $i\in 2,\ldots ,p$ і $j>p$ маємо $Y_{1}(Y_{i}x_{j})=[Y_{1},Y_{i}]x_{j}=\sum _{r=2}^{p}\Gamma _{1i}^{r}Y_{r}x_{j},$ тобто $Y_{i}x_{j}$ задовольняють систему лінійних однорідних диференціальних рівнянь вздовж довільної координатної кривої $x_{1}$. Але для $x_{1}=0$ інші координати $x_{i}=z_{i}$ і згідно вибору координат $z_{i}$ на $V_{0}$ також $Y_{i}x_{j}=Y_{i}z_{j}=0,\ j>p.$ Тому початкові умови для $Y_{i}x_{j}$ є нульовими і з єдиності розв'язків системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь випливає, що $Y_{i}x_{j}=0$ всюди у $U$ для $Y_{i}x_{j}=0,\quad i\in 1,\ldots ,p,\ j\in p+1,\ldots ,n,$ тобто координатна система задовольняє умови теореми в околі $U.$

Див. також

• Розподіл (диференціальна геометрія)
• Шарування

Джерела

• Chevalley, Claude (1946), Theory of Lie Groups. I, Princeton Mathematical Series, т. 8, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04990-8, MR 0015396, архів оригіналу за 10 червня 2019, процитовано 27 листопада 2020
• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J., ISBN 0442034105 (англ.)