Інтегральна крива

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Три інтегральні криви для поля напрямків відповідного диференціальному рівнянню dy / dx = x2 − x − 1.

У математиці, інтегральна крива (англ. integral curve) — параметрична крива, що представляє певний розв'язок для звичайного диференціального рівняння або системи рівнянь. Якщо диференціальне рівняння представлене як векторне поле або поле напрямків, тоді відповідна інтегральна крива дотична до поля в кожній точці.

Інтегральні криві також відомі під іншими назвами, залежно від природи і тлумачення диференціального рівняння або векторного поля. У фізиці, інтегральна крива для електричного або магнітного поля відома як силова лінія, інтегральна крива для поля швидкостей флюїду відома як лінія потоку. В динамічних системах, інтегральна крива для диференціального рівняння, яке керує системою згадується як траєкторія або орбіта.

Визначення[ред.ред. код]

Припустимо, що F — векторне поле: тобто, вектор-функція з декартовими координатами (F1,F2,...,Fn); і x(t) парметрична крива з координатами (x1(t),x2(t),...,xn(t)). Тодіx(t) — це інтегральна крива F якщо вона є розв'язком такої автономної системи звичайних диференціальних рівнянь:

\begin{align}
\frac{dx_1}{dt} &= F_1(x_1,\ldots,x_n) \\ 
&\vdots \\
\frac{dx_n}{dt} &= F_n(x_1,\ldots,x_n).
\end{align}

Таку систему можна записати як одне векторне рівняння

\mathbf{x}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{x}(t)).\!\,

Таке рівняння каже, що дотичний вектор до цієї кривої в будь-якій точці x(t) уздовж кривої є саме вектором F(x(t)), і отже ця крива x(t) є в кожній точці дотичною до векторного поля F.

Див. також[ред.ред. код]