Теорема Громова про групи поліноміального зростання

Група (математика)
Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Фактор-група (напів-)Прямий добуток
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедральна група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Групи Конвея Co1 • Co2 • Co3 Групи Янко J1 • J2 • J3 • J4 Групи Фішера F22 • F23 • F24 Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Ортогональна група O(n) Спеціальна унітарна група SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Група Лоренца Група Пуанкаре

Теоре́ма Гро́мова про гру́пи поліноміа́льного зроста́ння стверджує, що всі скінченнопороджені групи поліноміального зростання майже нільпотентні, тобто мають нільпотентну підгрупу скінченного індексу.

Теорему довів Громов 1981 року. У тій самій статті вводиться так звана збіжність за Громовом — Гаусдорфом. Доведення суттєво використовує так звану альтернативу Тітса .

Варіації та узагальнення

• Теорема залишається істинною, якщо ступінь зростання групи $O(n^{(\log \log n)^{c}})$.

• Якщо для групи $G$ існує многочлен $P$ такий, що для будь-кого $n\in \mathbb {N}$ існує система твірних $S=S^{-1}$ така, що

  $|S^{n}|\leqslant P(n)\cdot |S|,$

то $G$ майже нільпотентна і зокрема має поліноміальне зростання.