Схема (математика)

Схе́ма (від лат. schema, грец. σχῆμα) — в математиці абстрактне поняття, що є дуже широким узагальненням алгебричного многовиду. Схеми в сучасному виді були введені французьким математиком Александром Гротендіком і є ключовим поняттям сучасної алгебричної геометрії.

Афінні схеми

Базовим поняттям теорії схем є афінні схеми, що є аналогами афінних многовидів. Довільні схеми склеюються з афінних, подібно до того, як многовиди склеюються з локальних карт. Афінні многовиди вводяться на спектрах кілець з введеною на них топологією і визначеним на цій топології пучком кілець. Більш загально афінними схемами називаються локально окільцьовані простори, що є ізоморфними спектру кільця з введеним структурним пучком.

Спектр кільця

Нехай $A$  — кільце. Спектром $\mathrm {Spec} \,A$ кільця $A$ називається множина елементами якої є всі прості ідеали кільця $A$. На цій множині вводиться топологія Зариського в якій замкнутими множинами є множини виду:

$V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \,A\vert I\subset {\mathfrak {p}}\}$

де $I$  — усі довільні ідеали кільця $A$ (очевидно у визначенні можна замість ідеалів взяти довільні множини елементів кільця).

Відкритими множинами є, відповідно, доповнення замкнутих, тобто множини виду

$D(I)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \,A\vert I\not \subset {\mathfrak {p}}\}.$

Базу топології на спектрі утворюють множини $D_{f}=D((f)),\;f\in A,$ що пов'язані з головними ідеалами $(f)$.

Структурний пучок

Аффінна схема  — локально окільцьований простір $(\mathrm {Spec} \,A;{\mathcal {O}}_{A})$, де ${\mathcal {O}}_{A}$  — структурний пучок кілець на відкритих підмножинах спектру. Він вводиться таким чином, щоб будь-яку відкриту підмножину в $\mathrm {Spec} \,A$ можна було розглядати як підсхему, при цьому для афінних схем виконується ${\mathcal {O}}_{A}(\mathrm {Spec} \,\;A)=A$, що означає еквівалентність геометричного і алгебраїчного погляду на кільце.

За визначенням, структурний пучок на елементах бази має вигляд

${\mathcal {O}}_{A}(D_{f})=A_{f}$

де $A_{f}$  — локалізація кільця $A$ по елементу $f$. Цю конструкцію в єдиний спосіб можна продовжити до пучка на $\mathrm {Spec} \,A$.

У явному вигляді

${\mathcal {O}}_{A}(D_{f_{1},\dots ,f_{k}})=A_{f_{1},\dots ,f_{k}}$

$D_{f_{1},\dots ,f_{k}}=\cup _{i=1}^{k}D_{f_{i}}$

$D_{f_{1}\dots f_{k}}=\cap _{i=1}^{k}D_{f_{i}}$

Структурний пучок на спектрі кільця можна також ввести і в інший спосіб. Нехай ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \,A$ — позначає прості ідеали кільця і $A_{\mathfrak {p}}$ локалізацію кільця по цих ідеалах. Якщо $U\subset \mathrm {Spec} \,A$ — відкрита підмножина в спектрі, то ${\mathcal {O}}_{A}(U)$ можна визначити як множину функцій:

$s\colon U\to \bigsqcup _{{\mathfrak {p}}\in U},$ (символ $\bigsqcup$ позначає диз'юнктне об'єднання)

таке що для всіх ${\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \,A$ виконується $s({\mathfrak {p}})\in A_{\mathfrak {p}}$ і s локально є часткою двох елементів кільця A, тобто для всіх ${\mathfrak {p}}\in U$ існує окіл $V\subset U$ якому належить ${\mathfrak {p}}$ і елементи $a,f\in A$ такі що для всіх ${\mathfrak {q}}\in V$ справедливо $f\notin {\mathfrak {q}}$ і $s({\mathfrak {q}})=a/f$ у $A_{\mathfrak {q}}.$

На визначеній так множині ${\mathcal {O}}_{A}(U)$ можна ввести операції додавання і множення після цього дана множина стане комутативним кільцем з одиницею.

Спектр із введеним вище структурним пучком є локально окільцьованим простором.

Афінною схемою називається довільний локально окільцьований простір ізоморфний спектру кільця із структурним пучком.

Схеми

Схема  — локально окільцьований простір $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ($X$  — топологічний простір, ${\mathcal {O}}_{X}$  — пучок кілець на ньому), що є локально ізоморфним афінній схемі. Більш детально, потрібно, щоб існувало таке покриття $\{U_{i}\}_{i\in I}$ топологічного простору $X$ афіними схемами $U_{i}=\mathrm {Spec} {A_{i}}$, так що обмеження структурного пучка на елементи покриття дає структурні пучки відповідних афінних схем:

$X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$

$\forall i\in I\colon {\mathcal {O}}_{X}\vert _{U_{i}}={\mathcal {O}}_{A_{i}}$

Топологічний простір $X$ називається базисним топологічним простором схеми $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, а ${\mathcal {O}}_{X}$ називається структурним пучком. Морфізм схем  — це морфізм відповідних локально окільцьованих просторів. Ізоморфізм  — морфізм, що має обернений морфізм.

Див. також

• Алгебричний многовид
• Спектр кільця
• Комбінаторна схема

Джерела

• David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5.
• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.