Вписана сфера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Тетраедр зі вписаною сферою червоного кольору (також показано напіввписану сферу зеленим кольором і описану сферу синім кольором)
У своїй книзі Mysterium Cosmographicum 1597 року Кеплер змоделював Сонячну систему з відомими на той час шістьма орбітами планет вкладеними платоновими тілами, кожне з описаною і вписаною сферами.

В геометрії вписана сфера опуклого багатогранника — це сфера, яка міститься в межах багатогранника і дотична до кожної з граней багатогранника. Це найбільша сфера, яка міститься повністю всередині багатогранника, і двоїста до описаної сфери двоїстого багатогранника.

Інтерпретації[ред. | ред. код]

Усі правильні багатогранники мають уписані сфери, але грані більшості неправильних багатогранників не дотикаються до спільної сфери, хоча для таких фігур все-таки можна визначити найбільшу сферу, що міститься в них. Для таких випадків наведене поняття вписаної сфери непридатне, і можна знайти різні його інтерпретації:

  • Сфера, дотична до всіх граней (якщо така існує).
  • Сфера, дотична до всіх площин граней (якщо така існує).
  • Сфера, дотична до заданого набору граней (якщо така існує).
  • Найбільша сфера, яка може поміститися всередині багатогранника.

Часто ці сфери збігаються, що призводить до плутанини щодо того, які саме властивості визначають вписану сферу для багатогранників там, де вони не збігаються.

Наприклад, звичайний малий зірчастий додекаедр має сферу, дотичну до всіх граней, тоді як всередині його ще можна розмістити більшу сферу. Яка з них уписана сфера? Відомі вчені, такі як Коксетер або Кенді і Роллетт, досить чітко формулюють, що вписана сфера дотикається до граней. Вони також погоджуються з тим, що архімедові багатогранники (які мають правильні грані та еквівалентні вершини) не мають уписаних сфер, тоді як дуальні архімедовим тіла Каталана мають. Але багато авторів не враховують подібних відмінностей і користуються іншими визначеннями вписаної сфери для своїх багатогранників.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes 3rd Edn. Dover (1973).
  • Cundy, H.M. and Rollett, A.P. Mathematical Models, 2nd Edn. OUP (1961).

Посилання[ред. | ред. код]