Знак рівності

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Знак рівності (=) — це математичний символ, що використовується для позначення рівності. Він був винайдений в 1557 році Робертом Рекордом. У рівнянні знак рівності розміщується між двома виразами, які мають те ж саме значення. Він відповідає символу 003D в шістнадцятковій системі числення та +0061 в десятковій у стандартах Unicode та ASCII.

Історія виникнення[ред. | ред. код]

Етимологія слова «рівний» походить від латинського слова «aequalis» в сенсі «єдиний», «ідентичний» або «один», від aequus («рівні», «навіть», або «просто»).

Знак рівності в сучасній формі створив математик Роберт Рекорд (Robert Recorde, 1510-1558) у своїй праці The Whetstone of Witte (1557). Він обґрунтував застосування двох паралельних штрихів таким чином (староанглійською): «…bicause noe 2 thynges can be moare equalle», тобто «ніякі інші дві речі не можуть бути більш рівними». До цього в античній та середньовічній математиці рівність позначалася словесно (наприклад est eqale). Рене Декарт у XVII столітті в записах став використовувати æ (від лат. aequalis), а сучасний знак рівності він використовував, щоб вказати, що коефіцієнт може бути негативним. Франсуа Вієт знаком рівності позначав віднімання. Символ Рекорда набув поширення далеко не відразу. У континентальній Європі знак «=» було введено Лейбніцем на межі XVII—XVIII століть, тобто більше ніж через 100 років після смерті Роберта Рекорда, який вперше використав його з цією метою.

Використання в математиці та комп'ютерному програмуванні[ред. | ред. код]

У математиці знак рівності може бути використаний як проста констатація факту в конкретному випадку (х = 2), або для створення визначень (нехай х = 2), умовних операторів (якщо х = 2, то …), або щоб висловити загальну еквівалентність (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.

Першою розповсюдженою комп'ютерною мовою програмування, яка використовувала знак рівності був початковий варіант Fortran — FORTRAN I, розроблений у 1954 році. У Fortran, «=» використовується як оператор присвоєння: X = 2 встановлює значення X в 2. Це дещо нагадує використання «=» в математичному визначенні, але з різною семантикою: вираз після «=» обчислюється першим та може стосуватися попереднього значення X. Наприклад, призначення X = Х + 2 збільшує значення X на 2.

Інше використання у мові програмування було започатковане оригінальною версією ALGOL, який був розроблений в 1958 та реалізований в 1960 році. ALGOL включив оператор відношення[en], який перевіряв на рівність, роблячи можливими такі конструкції як if X = 2 з саме таким значенням «=» як і умовне використання в математиці. Знак рівності був зарезервований для цього використання.

Обидва використання залишилися стандартними у різних мовах програмування напочатку 21-го століття. Так само як і у Fortran, «=» використовується для призначення в таких мовах як C, Perl, Python, awk та їх нащадках. Але у таких мовах як сім'я Pascal, Ada, Eiffel, APL «=» використовується для позначення рівності, а не призначення.

Кілька мов, таких як BASIC і ПЛ/1, використовували знак рівності і як призначення, і для позначення рівності — в залежності від контексту. Після ALGOL, більшість мов використовують «=» для використання рівності та «: =» для призначення, хоча APL, з його особливим набором символів, використовує ліву стрілку.

У Fortran не було оператора рівності (можна було лише порівняти вираз з нулем, використовуючи арифметичний оператор IF[en]), доки FORTRAN IV не було випущено у 1962 році, після чого він використовував чотири символи «.EQ.» для перевірки рівності. Мова В започаткувала використання «==» для цього призначення, що перейшло до нащадка, мови С та більш пізніх мов, де «=» позначає призначення.

Використання кількох знаків рівності[ред. | ред. код]

У PHP, потрійний знак рівності[en] (===) позначає ідентичність[1], це означає, що два вирази мають не тільки однакові значення, а також і той самий тип даних. Наприклад, вираз 0 == false це правда, але 0 === false не є, тому що число 0 є цілим числом, у той час як «false» є логічним значенням.

JavaScript має ту ж семантику для ===, так звану «рівність без типу примусу». Проте, в JavaScript поведінку == не може бути описано за допомогою будь-яких простих узгоджених правил. Вираз 0 == false це правда, але 0 == udefined — брехня, хоча обидві сторони == діють так само в логічному контексті. З цієї причини рекомендується уникати оператора == в JavaScript на користь ===[2].

В Ruby, рівність під == вимагає, щоб обидві операнди були одного й того ж типу, наприклад 0 == false — брехня. Оператор === — гнучкий, і може бути використаний для будь-якого довільного заданого типу. Наприклад, значення типу Range є діапазоном цілих чисел, таких як 1800..1899. (1800..1899) == 1844 — брехня, оскільки типи даних різні (Range проти Integer), але (1800..1899) === 1844 — правда, оскільки === типу Range позначає «включення у діапазон»[3]. Зверніть увагу, що семантика тут, === не симетрична. Наприклад, 1844 === (1800..1899) — брехня, оскільки це інтерпретується як Integer#===, замість Range#===[4].

Інші використання[ред. | ред. код]

Знак рівняння також використовується у визначенні пар властивість-значення[en], в яких властивості присвоюється значення.

Звуковий символ[ред. | ред. код]

Знак рівності також використовується як граматичний звуковий символ в орфографії мови Буду[en] в Конго-Кіншаса, в Крамен[en], Мван[en] та Дан[en] в Кот-д'Івуар[5][6]. Код символу Unicode для звукового символу (U+A78A)[7] відрізняється від математичного символу(U+003D).

Таблиця математичних знаків (символів) еквівалентності з кодами Unicode[ред. | ред. код]

Математичні знаки (символи) еквівалентності
знак Unicode значення Назва знака знак Unicode значення Назва знака
= U+003D дорівнює U+2260 не дорівнює
U+2243 U+2244
U+2245 конгруентність (геометрична рівність) U+2246
U+2247
U+2248 приблизно дорівнює U+2249
U+2261 ідентичне, тотожність U+2262 не ідентично
U+224C подібність фігур U+2242
U+224A U+224B
U+224D U+2263
U+224E U+224F
U+2250 U+2251
U+2252 U+2253
U+2254 U+2255
U+2258 відповідає U+225A
U+2257 U+2259 відповідає
U+225E U+225F може дорівнювати
U+225C дорівнює за визначенням U+225D дорівнює за визначенням
U+225B U+2256

Схожі символи[ред. | ред. код]

Майже рівні[ред. | ред. код]

Символи, які використовуються для позначення предметів, які майже рівні, включають наступні[8]:

    ≈ (U+2248, LaTeX \approx)

    ≃ (U+2243, LaTeX \simeq), комбінація з ≈ та =, що також використовується для позначення асимптотичної рівності[ru].

    ≅ (U+2245, LaTeX \cong), інша комбінація з ≈ та =, яка також використовується для позначення ізоморфізму або конгруенції.

    ∼ (U+223C), яка також іноді використовується для позначення пропорційності, які пов'язані з відношенням еквівалентності, або щоб позначити що випадкова величина розподілена відповідно до визначеного розподілу ймовірностей.

    ∽ (U+223D), яка також використовується для позначення пропорційності.

    ≐ (U+2250, LaTeX \doteq), який також може використовуватися для позначення підходу змінної до ліміту.

    ≒ (U+2252), зазвичай використовується у Японській, Тайській та Корейській мовах.

    ≓ (U+2253)

Нерівні[ред. | ред. код]

Символ, що використовується для позначення нерівності(коли виразі нерівні) — це перетнутий знак рівняння «≠» (U+2260; 2260,Alt+X в Microsoft Windows). У LaTeX, він робиться за допомогою команди «\neq».

Більшість мов програмування, що обмежують себе набором символів та друкованих символів ASCII, використовують ≈, !=, /=, =/=, або <> щоб відобразити їх логічний оператор порівняння[en].

Ідентичні[ред. | ред. код]

Символ потрійного дефісу[en] (U+2261, Latex \equiv), часто використовується щоб позначити ідентичність, визначення(яке також може бути позначене U+225D «≝» або U+2254 «≔»), або відношення конгруенції в модульній арифметиці. Символ «≘» може бути використаний, щоб показати, що один предмет відноситься до іншого.

Ізоморфізм[ред. | ред. код]

Символ «≅» часто використовується для позначення ізоморфних алгебраїчних структур або конгруентних геометричних фігур.

У логіці[ред. | ред. код]

Рівність правдивих значень, тобто відношення "тоді й лише тоді" або логічної еквівалентності може бути позначена різними символами, а саме =, ~, та ⇔.

У іменах[ред. | ред. код]

Можливо унікальний випадок використання знака рівності у європейському імені людини, зокрема в двочастинному імені[en], був у піонера-авіатора Альберто Сантос=Дюмонта, який був відомий не тільки за те, що часто використовував знак рівності "=" між двома своїми прізвищами[en] замість дефісу, а й за те, що він віддавав перевагу цій практиці, щоб показати рівну повагу до французької національності свого батька та бразильської національності своєї матері[9].

Знак рівняння іноді використовується в Японії як розділювач поміж іменами.

Інші схожі символи[ред. | ред. код]

Інші символи, пов'язані зі знаком рівності, включають у себе:

≌ (U + 224C ≌ Усе дорівнює)

≔ (U + 2254 ≔ двокрапка дорівнює)

≕ (U + 2255 ≕ дорівнює двокрапка)

≖ (U + 2256 ≖ кільце у знаку рівності)

≗ (U + 2257 ≗ кільце дорівнює)

≙ (U + 2259 ≙ оцінювання)

≚ (U + 225A ≚ Рівнокутні з…)

≛ (U + 225B ≛ зірка дорівнює)

≜ (U + 225C ≜ дельта дорівнює)

≞ (U + 225E ≞ виміряно…)

≟ (U + 225F ≟ знак питання дорівнює).

Хибне застосування[ред. | ред. код]

Знак рівності часом використовується неправильно у математичних виразах, щоб з'єднати математичні кроки у нестандартний спосіб, аніж щоб показати рівність (особливо студентами-математиками).

Наприклад, якщо один з них шукає, крок за кроком, суму чисел 1, 2, 3, 4 та 5, він може написати

    1 + 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10 + 5 = 15.

Структурно, це скорочення від

    ([(1 + 2 = 3) + 3 = 6] + 4 = 10) + 5 = 15,

але запис некоректний, тому що кожна з частин рівняння має різне значення. Якщо інтерпретувати це суворо так, як це написано, це буде

    3 = 6 = 10 = 15 = 15.

Правильною версією виразу буде

    1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15.[10]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Comparison Operators. PHP.net. Архів оригіналу за 19 жовтня 2013. Процитовано 19 жовтня 2013. 
  2. Doug Crockford. JavaScript: The Good Parts. YouTube. Архів оригіналу за 4 листопада 2013. Процитовано 19 жовтня 2013. 
  3. why the lucky stiff[en]. 5.1 This One’s For the Disenfranchised. [[Why's (poignant) Guide to Ruby|why's (poignant) Guide to Ruby]][[:en:Why's (poignant) Guide to Ruby|[en]]]. Архів оригіналу|archiveurl= вимагає |url= (довідка) за 24 вересня 2015. Процитовано 19 жовтня 2013.  Назва URL містить вбудоване вікіпосилання (довідка)
  4. Brett Rasmussen (30 липня 2009). Don't Call it Case Equality. Архів оригіналу за 21 жовтня 2013. Процитовано 19 жовтня 2013. 
  5. Peter G. Constable; Lorna A. Priest (31 липня 2006). Proposal to Encode Additional Orthographic and Modifier Characters. Архів оригіналу за 21 жовтня 2013. Процитовано 19 жовтня 2013. 
  6. Hartell, Rhonda L., ред. (1993). The Alphabets of Africa. Dakar: UNESCO and SIL. Процитовано 19 жовтня 2013. 
  7. Unicode Latin Extended-D code chart. Unicode.org. Архів оригіналу за 3 квітня 2019. Процитовано 19 жовтня 2013. 
  8. Mathematical Operators. Unicode.org. Архів оригіналу за 13 січня 2018. Процитовано 19 жовтня 2013. 
  9. Gray, Carroll F. (November 2006). The 1906 Santos=Dumont No. 14bis. World War I Aeroplanes. No. 194: 4. 
  10. Capraro, Robert M.; Capraro, Mary Margaret; Yetkiner, Ebrar Z.; Corlu, Sencer M.; Ozel, Serkan; Ye, Sun; Kim, Hae Gyu (2011). An International Perspective between Problem Types in Textbooks and Students' understanding of relational equality. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education 10 (1–2): 187–213. Архів оригіналу за 26 квітня 2012. Процитовано 19 жовтня 2013. 

Література[ред. | ред. код]

Зовнішні джерела[ред. | ред. код]