Зсув Бернуллі
![]() | Цю статтю треба вікіфікувати для відповідності стандартам якості Вікіпедії. |
У математиці схема Бернуллі або зсув Бернуллі є узагальненням процесу Бернуллі[en] для більш ніж двох можливих результатів.[1][2] Схеми Бернуллі природно проявляються в символьній динаміці[en], і тому важливі при досліджені динамічних систем. Багато важливих динамічних систем (такі як аксіома А в теорії динамічних систем) мають атрактор, який є добутком множини Кантора і гладкого многовиду, а динаміка на множині Кантора ізоморфна динаміці зсуву Бернуллі.[3] По суті, це розбиття Маркова[en]. Термін «зсув» відноситься до оператора зсуву, який може бути використаний для вивчення схем Бернуллі. Теорема про ізоморфізм Орнштейна[en][4][5] показує, що зсуви Бернуллі є ізоморфними, якщо їх ентропія[en] однакова.
Схема Бернуллі — це дискретний часовий[en] стохастичний процес, де кожна незалежна випадкова величина може приймати одне з різних можливих значень, причому -й результат відбувається з імовірністю , при , і
Простір елементарних подій як правило позначається
як скорочення для
Пов'язана міра називається мірою Бернуллі[6]
σ-algebra на є добутком -алгебр, тобто це (скінченний) прямий добуток -алгебр скінченної множини . Таким чином, трійка
є простором з мірою[en]. Базис є циліндричною множиною[en]. Нехай задано циліндричну множину , її мірою є
Еквівалентний вираз з використанням позначень теорії ймовірностей має вигляд
для випадкових величин .
Схему Бернуллі, як і будь-який стохастичний процес, можна розглядати як динамічну систему з оператором зсуву , де
Оскільки результати незалежні, то зсув зберігає міру, і, отже, є перетворенням, що зберігає міру[en]. Четвірка
є динамічною системою, що зберігає міру[en], і називається схемою Бернуллі або зсувом Бернуллі. Її часто позначають як
При = 2 схема Бурнуллі називається ппроцесом Бернуллі[en]. Зсув Бернуллі можна розуміти як окремий випадок , зсуву Маркова[en], де всі елементи матриці сумжності одиниці. Таким чином, відповідний граф є клікою.
Відстань Геммінга забезпечує природну метрику для схеми Бернуллі. Інша важлива метрика, так звана -метрика, визначається через супремум над відповідностями рядків[7]
Нехай і — два набори символів. Відповідність є послідовністю пар набору. Тобто пари для яких , вважаються повністю впорядкованими. Кожна окрема підпослідовність і впорядковується: , і у такий же спосіб .
-відстанню між і є
де супремум беремо за усіма відповідностями між і . Так означена відстань задовольняє нерівність трикутника лише при умові, що і тому це не зовсім справжня метрика. Незважаючи на це, в літературі загальновживаним є термін «відстань».
Більшість властивостей схеми Бернуллі випливають із зліченного прямого добутку, ніж з скінченного базового простору. Таким чином, можна прийняти за базовий простір стандартний простір ймовірностей[en] і визначити схему Бернуллі як
Такий підхід є конструктивним, оскільки зліченний прямий добуток стандартного простору ймовірностей знову є стандартним простором ймовірностей.
Для іншого узагальнення можна замінити цілі числа на зліченну дискретну групу . Таким чином,
У цьому випадку оператор зсуву замінюється на дію групи
для елементів групи, і розуміється як функція (будь-який прямий добуток розуміємо як множину функції , оскільки це є експоненційний об'єкт . Міра вибирається як міра Хаара, яка інваріантна під дією групи:
Ці узагальнення також загальнопринято називати схемами Бернуллі, оскільки вони все ще зберігають більшість властивостей скінченного випадку.
Яків Синай показав, що ентропія Колмогорова[en] схеми Бернуллі визначається як[8][9]
Ця формула для ентропії випливає із загального означення ентропії прямого декартового добутку ймовірносних просторів, яке випливає з властивості асимптотичного розподілу[en]. У випадку загального базового простору (тобто базовий простір, який не є зліченним) зазвичай розглядається відносна ентропія. Так, наприклад, якщо маємо зліченне розбиття
У загальному випадку ця ентропія залежить від розбиття. Однак для багатьох динамічних систем, коли символьна динаміка[en] не залежить від розбиття (скоріше існують ізоморфізми, які пов'язують символьну динаміку різних розбиттів і залишають міру інваріантною), і тому такі системи можуть мати добре визначену ентропію, яка не залежить від розбиття.
Теорема про ізоморфізм Орнштейна[en] стверджує, що дві схеми Бернуллі з однаковою ентропією ізоморфні.[4] Результат є дуже особливим,[10] оскільки для несхематичних систем, таких як автоморфізми Колмогорова[en] немає подібної властивості. Теорема про ізоморфізм насправді набагато глибша: вона забезпечує простий критерій, за допомогою якого багато різних динамічних систем, що зберігають міру[en], можна вважати ізоморфними схемам Бернуллі. Результат виявився неочікуваним, оскільки багато систем, які раніше вважалися непов'язаними, виявились ізоморфними. До них відносяться скінченні стаціонарні стохастичні процеси, підзсуви скінченного типу[en], скінченні ланцюги Маркова, дифероморфізми Аносова і більярди Сіная[en]: всі вони ізоморфні до схем Бернуллі.
В узагальненому випадку теорема про ізоморфізм Орнштейна залишається справедливою, якщо група є зліченною нескінченною аменабельною групою[en].[11][12]
Оборотне перетворення, що зберігає міру[en] стандартного простору ймовірностей[en] (простір Лебега) називають автоморфізмами Бернуллі , якщо воно ізоморфне зсуву Бернуллі[13].
- ↑ P. Shields, The theory of Bernoulli shifts, Univ. Chicago Press (1973)
- ↑ Michael S. Keane, «Ergodic theory and subshifts of finite type», (1991), appearing as Chapter 2 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X
- ↑ Pierre Gaspard, Chaos, scattering and statistical mechanics(1998), Cambridge University press
- ↑ а б Ornstein, Donald (1970). Bernoulli shifts with the same entropy are isomorphic. Advances in Mathematics. 4: 337—352. doi:10.1016/0001-8708(70)90029-0.
- ↑ D.S. Ornstein (2001), isomorphism theorem Ornstein isomorphism theorem, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- ↑ Klenke, Achim (2006). Probability Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-1-84800-047-6.
- ↑ Feldman, Jacob (1976). New -automorphisms and a problem of Kakutani. Israel Journal of Mathematics. 24 (1): 16—38. doi:10.1007/BF02761426.
- ↑ Ya.G. Sinai, (1959) «On the Notion of Entropy of a Dynamical System», Doklady of Russian Academy of Sciences 124, pp. 768—771.
- ↑ Ya. G. Sinai, (2007) «Metric Entropy of Dynamical System [Архівовано 6 травня 2021 у Wayback Machine.]»
- ↑ Hoffman, Christopher (1999). A Counterexample Machine. Transactions of the American Mathematical Society. 351: 4263—4280. Архів оригіналу за 14 травня 2021. Процитовано 14 травня 2021.
- ↑ Ornstein, Daniel; Weiss, Benjamin (1987). Entropy and isomorphism theorems for actions of amenable groups. Journal d'Analyse Mathématique. 48: 1—141. doi:10.1007/BF02790325.
- ↑ Bowen, Lewis (2012). Every countably infinite group is almost Ornstein. Contemporary Mathematics. 567: 67—78. arXiv:1103.4424.
- ↑ Peter Walters (1982) An Introduction to Ergodic Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90599-5