Кеплерові елементи орбіти

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Кеплерівські елементи орбіти включаючи аргумент перицентра (рис.1)
Частини еліпса (рис.2)

Кеплерові елементи — шість елементів орбіти, що визначають положення небесного тіла в просторі у задачі двох тіл:

  • велика піввісь (),
  • ексцентриситет (),
  • нахил (),
  • довгота вихідного вузла (),
  • аргумент перицентру (),
  • середня аномалія ().

Перші два визначають форму орбіти, третій, четвертий і п'ятий - орієнтацію площини орбіти по відношенню до базової системи координат, шостий - положення тіла на орбіті.

Велика піввісь[ред.ред. код]

Велика піввісь — це половина головної осі еліпса  (позначена на рис.2 як a). В астрономії характеризує максимальну відстань небесного тіла від центру еліптичної орбіти.

Ексцентриситет[ред.ред. код]

Ексцентрисите́т (позначаеться «» чи «ε») — числова характеристика конічного перетину. Ексцентриситет інваріантний щодо рухів площини і перетворень подібності.[1] Ексцентриситет характеризує «стислість» орбіти. Він виражається за формулою:

, де  — мала піввісь (див. рис.2)

Можна розділити зовнішній вигляд орбіти на п'ять груп:

  •  — коло
  •  — еліпс
  •  — парабола
  •  — гіпербола
  •  — пряма 

Нахил[ред.ред. код]

A — Об'єкт
B — Центральний об'єкт
C — Площина відрахунку
D — Площина орбіти
 i  — Нахил

Нахил орбіти небесного тіла — це кут між площиною його орбіти і площиною відліку (базовою площиною).

Зазвичай позначається буквою i (від англ. Inclination). Нахил вимірюється в кутових градусах мінутах і секундах.

Якщо °, то рух небесного тіла називається прямим.
Якщо °°, то рух небесного тіла називається зворотним.

У застосуванні до Сонячної системи, за площину відліку зазвичай вибирають площину орбіти Землі (площину екліптики). Площини орбіт інших планет Сонячної системи і Місяця відхиляються від площини екліптики лише на кілька градусів. 

Для штучних супутників Землі за площину відліку зазвичай вибирають площину екватора Землі. 
Для супутників інших планет Сонячної системи за площину відліку зазвичай вибирають площину екватора відповідної планети. 
Для екзопланет і подвійних зірок за площину відліку приймають картинну площину. Знаючи нахил двох орбіт до однієї площини відліку і довготи їх висхідних вузлів, можна обчислити кут між площинами цих двох орбіт - їх взаємний нахил за формулою косинуса кута.

Довгота висхідного вузла[ред.ред. код]

Довгота висхідного вузла - один з основних елементів орбіти, використовуваний для математичного опису орієнтації площини орбіти відносно базової площини. Визначає кут в базовій площині, утворений між базовим напрямком на нульову точку і напрямком на точку висхідного вузла орбіти, в якій орбіта перетинає базову площину в напрямку з півдня на північ.
 

Для визначення висхідного і спадного вузла вибирають деяку (так звану базову) площину, яка містить притягувальний центр. Як базову зазвичай використовують площину екліптики (рух планет, комет, астероїдів навколо Сонця) площина екватора планети (рух супутників навколо планети) і т. д. Нульова точка - Перша точка Овна (точка весняного рівнодення). Кут вимірюється від напрямку на нульову точку проти годинникової стрілки. Висхідний вузол позначається знаком ☊, чи Ω.

Аргумент перицентру[ред.ред. код]

Аргуме́нт перице́нтру — визначається як кут між напрямками з притягувального центру на висхідний вузол орбіти і на перицентр (найближчу до притягує центру точку орбіти супутника), або кут між лінією вузлів і лінією апсид. Відраховується з притягає центру в напрямку руху супутника звичайно вибирається в межах 0°-360°.

При дослідженні екзопланет і подвійних зірок як базову використовують картинну площину - площину, що проходить через зірку і перпендикулярну променю спостереження зірки з Землі. Орбіта екзопланети в загальному випадку випадковим чином орієнтована щодо спостерігача, перетинає цю площину в двох точках. Точка, де планета перетинає картинну площину, наближаючись до спостерігача, вважається висхідним вузлом орбіти, а точка, де планета перетинає картинну площину, віддаляючись від спостерігача, вважається низхідним вузлом. У цьому випадку аргумент перицентру відраховується з притягувального центру проти годинникової стрілки.

Позначається ().

Замість аргументу перигелію часто використовується інший кут довгота перигелію що позначається як . Він визначається, як сума довготи висхідного вузла і аргументу перигелію. Це - дещо незвичний кут, так як він вимірюється частково вздовж екліптики, а частково - уздовж орбітальної площини. Однак, часто він більш практичний, ніж аргумент перигелію, так як добре визначений навіть, коли нахил орбіти близько до нуля, коли напрямок на висхідний вузол стає невизначеним[2].

Середня аномалія[ред.ред. код]

Анімація, що ілюструє справжню аномалію, ексцентричну аномалію, середню аномалію і рішення рівняння Кеплера.
Аномалії (рис.3)

Середня аномалія для тіла, що рухається по незбуреній орбіті - добуток його середнього руху та інтервалу часу після проходження перицентру. Таким чином, середня аномалія - кутова відстань від перицентру гіпотетичного тіла, що рухається з постійною кутовою швидкістю, що дорівнює середньому руху.

Позначається буквою (від англ. mean anomaly)

У зоряної динаміці середня аномалія M обчислюється за такими формулами:

де:

  •  — середня аномалія на епоху ,
  •  — початкова епоха,
  •  — епоха, на яку здійснюються обчислення, і
  •  — середній рух.

Або через рівняння Кеплера:

де:

  •  — ексцентрична аномалія ( на рис.3),
  •  — ексцентриситет.

Обчислення кеплерових елементів[ред.ред. код]

Розглянемо наступну задачу: нехай є необуреним рух і відомі вектор положення і вектор швидкості  на момент часу . Знайдемо кеплерові елементи орбіти.

Перш за все, обчислимо велику піввісь:

За інтегралом енергії:

(1) , де μ — гравітаційний параметр, що дорівнює добутку гравітаційної постійної на масу небесного тіла; для Землі μ = 3,986005·105 км³/c², для Сонця μ = 1,32712438·1011 км³/c².

Таким чином, по формулі (1) знаходимо .

Примітки[ред.ред. код]

  1. А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
  2. Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner. 6.

Див. також[ред.ред. код]