Ромб

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ромб

Ромб (грец. ρομβος) — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Ромб, сторони якого утворюють прямий кут зветься квадратом.

Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. У ромба всі сторони рівні.

Нехай ABCD — даний ромб. Діагоналі ромба перетинаються в точці O. За властивості паралелограма AO = OC, значить BO — медіана Δ ABC. А оскільки трикутник ABC — рівнобедрений, то за властивостями медіани рівнобедреного трикутника проведеної до основи, BO є також висотою і бісектрисою. Значить пряма BO ⊥ AC і ∠ ABO = ∠ CBO.

Ознаки ромба[ред.ред. код]

Паралелограм ABCD буде ромбом, якщо виконується хоча б одна із наступних умов:

1. Дві його суміжні сторони рівні (звідси випливає, що всі сторони рівні):

АВ = ВС = СD = AD

2. Його діагоналі перетинаються під прямим кутом:

AC┴BD

3. Одна із діагоналей (бісектриса) ділить кути навпіл:

∠BAC = ∠CAD або ∠BDA = ∠BDC

4. Якщо всі висоти рівні:

BN = DL = BM = DK

5. Якщо діагоналі ділять паралелограм на чотири рівні прямокутні трикутники:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Якщо в паралелограм можна вписати круг.

Властивості ромба[ред.ред. код]

  1. Протилежні кути ромба рівні.
  2. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом, точка перетину є серединою кожної діагоналі.
  3. Діагоналі ромба є бісектрисами кутів, з яких вони проведені.
  4. Сторони ромба є попарно паралельні.
  5. Точка перетину діагоналей називається центром симетрії ромба.
  6. В будь-який ромб можна вписати коло.
  7. Центром кола, вписаного в ромб, буде точка перетину його діагоналей
  8. Сума квадратів діагоналей рівна квадрату сторони, помноженому на чотири: AC2 + BD2 = 4AB2

Сторона ромба[ред.ред. код]

Ромб

Формули визначення довжини сторони ромба:[ред.ред. код]

1. Формула сторони ромба через площу і висоту:

a =  S
ha

2. Формула сторони ромба через площу і синус кута:

a =  √S
√sinα
a =  √S
√sinβ

3. Формула сторони ромба через площу і радіус вписаного кола:

a =  S
2r

4. Формула сторони ромба через дві діагоналі:

a =  √d12 + d22
2

5. Формула сторони ромба через діагональ і косинус гострого кута (cos α) або косинус тупого кута (cos β):

a =  d1
√2 + 2 cosα
a =  d2
√2 - 2 cosβ
Ромб

6. Формула сторони ромба через більшу діагональ і половинний кут:

a =  d1
2cos(α/2)
a =  d1
2sin(β/2)

7. Формула сторони ромба через малу діагональ і половинний кут:

a =  d2
2cos(β/2)
a =  d2
2sin(α/2)

8. Формула сторони ромба через периметр:

a =  Р
4

Діагоналі ромба[ред.ред. код]

Ромб

Діагональ ромба - це довільний відрізок, що з'єднує дві вершини протилежних кутів ромба.

Ромб має дві діагоналі - більшу d1, та меншу - d2

Формули визначення довжини діагоналі ромба[ред.ред. код]

1. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

d1 = a√2 + 2 · cosα

d1 = a√2 - 2 · cosβ

2. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і косинус гострого кута (cosα) або косинус тупого кута (cosβ)

d2 = a√2 + 2 · cosβ

d2 = a√2 - 2 · cosα

3. Формули більшої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

d1 = 2a · cos(α/2)

d1 = 2a · sin(β/2)

4. Формули меншої діагоналі ромба через сторону і половинний кут:

d2 = 2a · sin(α/2)

d2 = 2a · cos(β/2)

5. Формули діагоналей ромба через сторону і другу діагональ:

d1 = √4a2 - d22

d2 = √4a2 - d12

6. Формули діагоналей через тангенс гострого tgα або тупого tgβ кута і другу діагональ:

d1 = d2 · tg(β/2)

d2 = d1 · tg(α/2)

7. Формули діагоналей через площу і другую діагональ:

d1 =  2S
d2
d2 =  2S
d1

8. Формули діагоналей через синус половинного кута і радіус вписаного кола:

d1 =  2r
sin(α/2)
d2 =  2r
sin(β/2)
Ромб

Периметр ромба[ред.ред. код]

Периметром ромба називається сума довжин всіх сторін ромба.

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Площа ромба[ред.ред. код]

Площа ромба - це простір, обмежений сторонами ромба, тобто в межах периметра ромба.

Формули визначення площі ромба[ред.ред. код]

1. Формула площі ромба через сторону і висоту:

S = a · ha

2. Формула площі ромба через сторону і синус будь-якого кута:

S = a2 · sinα

3. Формула площі ромба через сторону і радіус:

S = 2a · r

4. Формула площі ромба через дві діагоналі:

S =  1 d1d2
2

5. Формула площі ромба через синус кута і радіус вписаного кола:

S =  4r2
sinα

6. Формули площі через більшу діагональ і тангенс гострого кута (tgα) або малу діагональ і тангенс тупого кута (tgβ):

S =  1 d12 · tg(α/2)
2
S =  1 d22 · tg(β/2)

Коло, вписане у ромб[ред.ред. код]

Коло, вписане у ромб

Колом, вписаним у ромб, називається коло, що дотикається до всіх сторін ромба та має центр на перетині діагоналей ромба.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в ромб[ред.ред. код]

1. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через висоту ромба:

r =  h
2

2. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та сторону ромба:

r =  S
2a

3. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через площу та синус кута:

r =  √S · sinα
2

4. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через сторону і синус будь-якого кута:

r =  a · sinα
2
r =  a · sinβ
2

5. Формули радіуса кола, вписаного в ромб, через діагональ та синус кута:

r =  d1 · sin(α/2)
2
r =  d2 · sin(β/2)
2

6. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі:

r =  d1 · d2
2√d12 + d22

7. Формула радіуса кола, вписаного в ромб, через дві діагоналі та сторону:

r =  d1 · d2
4a

Посилання[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]