Півпериметр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В геометрії, півпериметр многокутника становить половину його периметру. Не дивлячись на те, що він досить просто виводиться з формули периметру, півпериметр часто зустрічається у формулах для трикутників та інших фігур, так що він має свою окрему назву. Коли півпериметр виступає як частина формули, він, зазвичай, позначається буквою p або s (від англ. semiperimeter).

Трикутники[ред. | ред. код]

У будь-якому трикутнику, відстань вздовж сторони трикутника від вершини до точки на протилежному боці, що торкається описаного навколо нього кола дорівнює півпериметру.

Півпериметр найчастіше застосовують для трикутників; формула обчислення півпериметра трикутника зі сторонами a, b, та c дорівнює

Властивості[ред. | ред. код]

У будь-якому трикутнику будь-яка вершина і точка дотику описаного кола на протилежній стороні ділить периметр трикутника на дві рівні частини, тим самим створюючи два рівних шляхи, довжина яких дорівнює півпериметру. Якщо A, B, C, A', B', та C' такі, як показано на малюнку, то сегменти, які з'єднують вершину з точкою дотику описаного кола (AA', BB', та CC', позначені червоною лінією на діаграмі), називаються сплітери[en], а отже

Три сплітери перетинаються у точці Наґеля.

Клівер[en] — це лінійний сегмент, який ділить периметр трикутника і має одну кінцеву точку в середині однієї з трьох сторін. Отже, будь-який клівер поділяє трикутник на дві частини, кожна з яких дорівнює півпериметру. Три клівери перетинаються в одній точці — у центрі кола Шпікера, яке виступає у ролі кола, вписаного в серединний трикутник; центр Шпікера є центром мас усіх сторін трикутника.

Лінія, що проходить через центр вписаного кола ділить периметр навпіл, тільки в тому випадку, коли він ділить навпіл площу.

Півпериметр трикутника дорівнює периметру його серединного трикутника.

За правилом нерівності трикутника, довжина найбільшої сторони трикутника менша за півпериметр.

Формули з півпериметром[ред. | ред. код]

Площа A будь-якого трикутника є добутком радіуса його вписаного кола на півпериметр:

Площу трикутника також можна обчислити користуючись півпериметром та сторонами a, b, c за формулою Герона:

Радіус описаного кола R трикутника можна обчислити за півпериметром та довжинами його сторін:

Цю формулу можна вивести з теореми синусів.

Радіус вписаного кола дорівнює

Теорема котангенсів дає котангенси половини кутів у вершинах трикутника в значеннях його півпериметру, сторін та радіуса його вписаного кола.

Довжина бісектриси внутрішнього кута, протилежного стороні a, дорівнює[1]

У прямокутному трикутнику, радіус описаного кола на гіпотенузі дорівнює півпериметру. Півпериметр дорівнює сумі радіуса вписаного кола та подвійного радіуса описаного. Площа прямокутного трикутника дорівнює , де a і b — катети.

Чотирикутники[ред. | ред. код]

Формула обчислення півпериметру чотирикутника зі сторонами a, b, c та d дорівнює

Одна з формул обчислення площі трикутника, що містить у собі півпериметр, також застосовується до описаних чотирикутників, які мають вписане коло та сума довжин протилежних сторін яких дорівнює півпериметру — тобто, площа дорівнює добутку радіуса вписаного кола на півпериметр:

Найпростіша форма формули Брамагупти для обчислення площі вписаного чотирикутника має вигляд, схожий на формулу Герона для обчислення площі трикутника:

Формула Бретшнайдера узагальнює формулу для усіх опуклих чотирикутників:

де та  — два протилежних кути.

Чотири сторони біцентричного чотирикутника являють собою чотири рішення рівняння четвертого ступеня, параметрами якого є півпериметр та радіуси вписаного і описаного кіл.

Правильні многокутники[ред. | ред. код]

Площа опуклого правильного многокутника дорівнює добутку периметра на його апофему.

Посилання[ред. | ред. код]

  1. Johnson, Roger A. (2007). Advanced Euclidean Geometry. Mineola, New York: Dover. с. 70. ISBN 9780486462370. 

Джерела[ред. | ред. код]