Теорема синусів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема синусів — наступне тригонометричне твердження про властивості кутів та сторін довільного трикутника: нехай a, b і c є сторонами трикутника, а A, B і C — кути протилежні вказаним сторонам, тоді

Обернене значення числа в теоремі синусів (тобто a/sin(A)) дорівнює діаметру D (або ж 2-ом радіусам) описаного навколо трикутника кола (єдине коло, що проходить через три точки A, B і C). Таким чином теорему можна переписати у розширеній формі

Наслідком теореми синусів є наступне твердження:

  • У трикутнику навпроти більшого кута лежить більша сторона, навпроти більшої сторони лежить більший кут.
Розв'язання трикутників

Теорему синусів використовують при розв'язуванні трикутників:

  1. Якщо відомі сторона a та два прилеглі кути β і γ довільного трикутника, то інші дві сторони можемо знайти із співвідношення:

;

.

Це є типовою проблемою, що постає при тріангуляції.

2. Якщо відомі дві сторони та один із кутів, що не утворюється цими сторонами

Зазначена формула дає два можливих значення для внутрішнього кута. В цьому випадку, часто лишень одне значення задовольняє умові, що сума трьох кутів трикутника дорівнює 180°; інакше отримаємо два можливих розв'язки.

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай дано трикутник зі сторонами a, b, і c, з протилежними до них кутами A, B, і C. Опустимо перпендикуляр довжиною h з C на c.

Бачимо, що, за означенням:

та

Звідси:

також

Повторимо операцію з кутом A і стороною a, і дістанемо:

.

Доведення розширеної форми теореми синусів[ред. | ред. код]

Достатньо довести, що

Проведемо діаметр описаного кола.

За властивістю кутів, вписаних у коло, кут прямий, а кут дорівнює або , якщо точки і лежать по один бік від прямої , або в іншому разі.

Оскільки , в обох випадках маємо

.

Повторивши ці міркування для двох інших сторін трикутника, маємо:

Варіації та узагальнення[ред. | ред. код]

де  — кут між гранями і ;  — спільна грань і ;  — об'єм симплекса.

Теорема синусів для сферичного трикутника[ред. | ред. код]

Ця теорема справедлива для трикутників на сфері, сторонами яких є дуги великих кіл сфери.

Нехай дано сферу одиничного радіуса і трикутник на ній, утворений перетином трьох її великих кіл. Нехай a, b і c — довжини дуг, які є сторонами трикутника. Оскільки сфера є одиничною, то a, b і c виражають кути з вершиною у центрі сфери між двома її радіусами, стягнуті цими дугами в радіанах.

Нехай A, B і C — кути, протилежні цим сторонам, тобто це двогранні кути між площинами трьох великих кіл.

Тоді, для сферичного трикутника справедливе твердження:

Доведення через вектори[ред. | ред. код]

Розглянемо сферу одиничного радіуса з центром О в початку координат. OA, OB та OC — одиничні вектори, проведені від початку координат до вершин A, B, C трикутника. Отже, кути α, β і γ є кутами a, b і c відповідно. Дуга BC утворює кут величиною a з вершиною у центрі сфери.

Введемо декартову систему координат так, щоб її вісь z проходила вздовж вектора OA. Вектор OB в площині xz утворює кут утворює кут c з віссю z та проектується на відрізок у площині xy. Вектор OC утворює кут b з віссю z та проектується на ON у площині xy, а кут між ON та віссю x дорівнює A. Отже, три вектори мають координати:

Змішаний добуток трьох векторів, OA ⋅ (OB × OC), дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах OA, OB та OC. Цей об'єм є інваріантним до конкретної системи координат, яка використовується для представлення OA, OB і OC.

Значення змішаного добутку трьох векторів OA ⋅ (OB × OC) є 3 × 3визначником, рядками якого є координати векторів OA, OB і OC.

З віссю z вздовж OA квадрат цього визначника дорівнює

Якщо повторити це обчислення з віссю z вздовж OB, отримаємо (sin c sin a sin B)2, а з віссю z вздовж OC(sin a sin b sin C)2.

Прирівнюємо ці вирази та ділимо їх на (sin a sin b sin c)2:

де V — об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах OA, OB та OC, що відповідають вершинам сферичного трикутника.

Легко побачити, що для малих сферичних трикутників, коли радіус сфери значно перевищує довжини сторін трикутника, ця формула в граничному значенні переходить в формулу для плоского трикутника, оскільки

і так само для sin b та sin c.

Доведення геометричне[ред. | ред. код]

Розглянемо сферу одиничного радіуса:

Будуємо точку та точку так, що

Будуємо точку так, що

Тому видно, що та

Точка є проекцією точки на площину . Тому

Згідно з основною тригонометрією, маємо:

Але

Поєднавши ці рівності, отримаємо:

Проводячи аналогічні обчислення, отримуємо теорему синусів для сферичного трикутника:

Малюнок, використаний в геометричному доказі вище, використовується і також надається в [1] (див. Малюнок 3 у цьому документі) для виведення теореми синусів за допомогою елементарної лінійної алгебри та проекційних матриць.

Теорема синусів для гіперболічного трикутника[ред. | ред. код]

В гіперболічній геометрії Лобачевського з кривиною −1, теорема синусів для гіперболічного трикутника має вигляд:

В окремому випадку, коли кут B прямий, отримаємо:

що є аналогом формули в евклідовій геометрії, яка виражає синус кута як частку від ділення протилежної сторони прямокутного трикутника на його гіпотенузу.

Теорема синусів для поверхонь постійної кривини[ред. | ред. код]

Визначимо узагальнену функцію синусів, що залежить також від дійсного параметра K:

Теорема синусів при постійній кривині K має вигляд[2]

Підставивши K = 0, K = 1, або K = −1, Отримаємо відповідно евклідовий, сферичний та гіперболічний випадки теореми синусів, описані вище.

Нехай pK(r) позначає довжину кола радіуса r у просторі постійної кривини K.

Тоді pK(r) = 2π sinK r.

Тому теорему синусів також можна записати у вигляді:

Це формулювання було знайдене Яношом Бояї.[3]

У вищих розмірностях[ред. | ред. код]

Позначимо Vгіпероб'єм n-вимірного симплекса і P — добуток гіперплощ його (n - 1)-вимірних граней. Тоді загальне співвідношення має вигляд

Історія[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Banerjee, Sudipto (2004). Revisiting Spherical Trigonometry with Orthogonal Projectors. The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America). 35 (5): 375–381. doi:10.1080/07468342.2004.11922099. S2CID 122277398Text online 
  2. Generalized law of sines. mathworld. 
  3. Katok, Svetlana (1992). Fuchsian groups. Chicago: University of Chicago Press. с. 22. ISBN 0-226-42583-5. 
  4. Florian Cajori. A History of Mathematics : [англ.]. — 5th edition. — 1991. — С. 47.
  5. Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook : [англ.]. — Princeton University Press, 2007. — С. 518. — ISBN 9780691114859.
  6. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. ISBN 1402002602. 
  7. Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. Архів оригіналу за 29 травня 2016. Процитовано 29 грудня 2021. 

Посилання[ред. | ред. код]