Теорема синусів

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема синусів — наступне тригонометричне твердження про властивості кутів та сторін довільного трикутника: нехай a, b і c є сторонами трикутника, а A, B і C — кути протилежні вказаним сторонам, тоді

Ця формула корисна при обчисленні решти двох сторін трикутника, якщо відомі сторона та два прилеглі кути; типова проблема, що постає при тріангуляції. Також, якщо відомі дві сторони та один із кутів, що не утворюється цими сторонами, зазначена формула дає два можливих значення для внутрішнього кута. В цьому випадку, часто лишень одне значення задовольняє умові, що сума трьох кутів трикутника дорівнює 180°; інакше отримаємо два можливих розв'язки.

Обернене значення числа в теоремі синусів (тобто a/sin(A)) дорівнює діаметру D (або ж 2-ом радіусам) описаного навколо трикутника кола (єдине коло, що проходить через три точки A, B і C). Таким чином теорему можна переписати у розширеній формі

Доведення[ред. | ред. код]

Law of sines proof.png

Нехай дано трикутник зі сторонами a, b, і c, з протилежними кутами A, B, і C. Опустимо перпендикуляр довжиною h з C на c.

Бачимо, що, за означенням:

та

Звідси:

також

Повторимо операцію з кутом A і стороною a, і дістанемо:

.

Доведення розширеної форми теореми синусів[ред. | ред. код]

Sinus-thm.png

Достатньо довести, що

Проведемо діаметр описаного кола. За властивістю кутів, уписаних у коло, кут прямий, а кут дорівнює або , якщо точки і лежать по один бік від прямої , або в іншому разі. Оскільки , в обох випадках маємо

.

Повторивши ці міркування для двох інших сторін трикутника, маємо:

Варіації та узагальнення[ред. | ред. код]

  • У трикутнику навпроти більшого кута лежить більша сторона, навпроти більшої сторони лежить більший кут.
  • У симплексі

де  — кут між гранями і ;  — спільна грань і ;  — об'єм симплекса.

Історія[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Florian Cajori. A History of Mathematics : [англ.]. — 5th edition. — 1991. — С. 47.
  2. Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook : [англ.]. — Princeton University Press, 2007. — С. 518. — ISBN 9780691114859.
  3. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer. ISBN 1402002602. 
  4. Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani. Архів оригіналу за 29 травня 2016. Процитовано 29 грудня 2021. 

Посилання[ред. | ред. код]