Квадратна піраміда

Квадратна піраміда

Квадратна піраміда

Тривимірна модель квадратної піраміди

У геометрії квадра́тна пірамі́да — це піраміда, що має квадратну основу. Якщо вершина піраміди знаходиться на перпендикулярі від центра квадрата, піраміда має симетрію C_4v.

Багатогранник Джонсона (J₁)

Якщо всі бічні грані піраміди — правильні трикутники, піраміда є одним з тіл Джонсона (J₁).

Тіла Джонсона — це 92 строго опуклих багатогранники, що мають правильні грані, але не є однорідними (тобто не є ні платоновими тілами (правильними багатогранниками), ні архімедовими, ні призмами, ні антипризмами).

1966 року Норман Джонсон опублікував список усіх 92 тіл і дав їм назви і номери. Він не довів, що їх тільки 92, але висловив гіпотезу, що інших немає. Віктор Залгаллер 1969 року довів, що список Джонсона повний. Квадратна піраміда Джонсона може бути описана єдиним параметром — довжиною ребра $a$. Висота $H$ (від середини квадрата до вершини піраміди), площа поверхні $A$ (всіх п'яти граней) і об'єм $V$ такої піраміди рівні:

$H={\frac {1}{\sqrt {2}}}a$

$A=(1+{\sqrt {3}})a^{2}$

$V={\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}.$

Інші квадратні піраміди

Інші квадратні (правильні) піраміди мають за бічні грані рівнобедрені трикутники.

Для таких пірамід, що мають довжину сторони основи $l$ і висоту $h$, площа поверхні і об'єм обчислюються за формулами:

$A=l^{2}+l{\sqrt {l^{2}+(2h)^{2}}}$

$V={\frac {1}{3}}l^{2}h.$

Пов'язані багатогранники і стільники

Правильний октаедр можна вважати квадратною біпірамідою (дві квадратні піраміди, з'єднані основами).	Тетракісгексаедр можна отримати з куба шляхом нарощення коротких квадратних пірамід на кожній грані.	Квадратна зрізана піраміда.

Квадратна піраміда заповнює простір (утворює стільники) з тетраедром, усіченим кубом або кубооктаедр.

Двоїстий багатогранник

Квадратна піраміда топологічно є самодвоїстим багатогранником. Довжини ребер двоїстої піраміди відрізняються через полярне перетворення.

Двоїста квадратна піраміда	Розгортка двоїстого багатогранника

Топологія

Квадратну піраміду можна подати графом «Колесо» W_5.

Література

• Norman W. Johnson. Convex Solids with Regular Faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18. — С. 169–200. — ISSN 0008-414X. — DOI:10.4153/cjm-1966-021-8. Містить оригінальний перелік 92 тіл і гіпотезу, що інших не існує.

Посилання

• Virtual Reality Polyhedra www.georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra (модель VRML)
• Weisstein, Eric W. Wheel graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Square Pyramid — інтерактивна модель багатогранника