Правильногранний багатогранник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Псевдоромбокубооктаедр (J37), багатогранник Джонсона
Цей приклад, що має гранями 24 правильних трикутники, не є тілом Джонсона, оскільки не є опуклим. (Фактично це єдина зірчаста форма, можлива для октаедра.)
Цей приклад, що має 24 квадратних граней, не є тілом Джонсона, оскільки не є строго опуклим (має двогранні кути 180°).

Правильногранний багатогранник — це опуклий багатогранник, кожна грань якого є правильним багатокутником.

Правильногранний багатогранник називають тілом Джонсона або багатогранником Джонсона, якщо він не є ні платоновим тілом (правильним багатогранником), ні архімедовим, ні призмою, ні антипризмою.

Прикладом тіла Джонсона є піраміда з квадратною основою і бічними гранями у вигляді правильних трикутників (J12)). Вона має 1 квадратну грань і 4 трикутних.

Як і в кожного строго опуклого тіла, в цих багатогранників до кожної вершини примикає щонайменше три грані і сума їхніх кутів (прилеглих до вершини) менша від 360º. Оскільки правильні багатокутники мають кути щонайменше 60º, до вершини можуть прилягати максимум п'ять граней. П'ятикутна піраміда[en] (J2) є прикладом, у якому є вершина п'ятого порядку (тобто з п'ятьма гранями).

Хоча немає явного обмеження на правильні багатокутники, які можуть служити гранями тіл Джонсона, насправді грані можуть мати тільки 3, 4, 5, 6, 8 або 10 сторін, причому трикутні грані (не менше чотирьох) має будь-яке з тіл Джонсона.

Подовжений чотирисхилий повернутий бікупол (J37), який називають також псевдоромбокубооктаедром[1] єдиний з тіл Джонсона має властивість локальної вершинної однорідності — в кожній вершині сходяться 4 грані і їхнє розташування однакове — 3 квадрати і 1 трикутник. Однак тіло вершинно-транзитивним не є, оскільки має різну ізометрію в різних вершинах, що й робить його тілом Джонсона, а не архімедовим тілом.

Історія[ред. | ред. код]

1966 року Норман Джонсон[en] опублікував список усіх 92 тіл і дав їм назви й номери. Він висловив гіпотезу, що їх тільки 92, тобто інших немає.

Раніше, 1946 року Л. Н. Єсаулова надіслала О. Д. Александрову листа, в якому довела, що правильногранних багатогранників (крім 5 правильних багатогранників, 13 напівправильних і двох нескінченних серій (призм та антипризм) може існувати лише скінченне число. 1961 року Александров передав цього листа В. А. Залгаллеру[ru], можливо через нотатки Джонсона 1960 року.[2] 1967 року Залгаллер опублікував доведення того, що список Джонсона повний. До виконання було залучено групу школярів школи № 239. Повне доведення зайняло близько 4 років з залученням комп'ютерної техніки. В доведенні також істотно використовувалась теорема Александрова про опуклі багатогранники.

Термінологія[ред. | ред. код]

Назви тіл Джонсона мають велику описову здатність. Більшість цих тіл можна побудувати з кількох тіл (пірамід, куполів і ротонд), додаючи платонові і архімедові тіла, призми й антипризми.

  • Бі- означає, що дві копії тіл з'єднані основами. Для куполів і ротонд вони можуть бути з'єднані гранями одного типу (прямі) або різних (повернуті). Октаедр, наприклад, є квадратною біпірамідою, кубооктаедр — повернутим трикутним бікуполом, а ікосододекаедр — повернутою п'ятикутною біротондою.
  • Подовжений означає, що до тіла приєднано призму або її вставлено між двома частинами тіла. Ромбокубооктаедр, наприклад, є подовженим квадратним прямим куполом.
  • Скручений подовжений означає, що до тіла приєднано антипризму або її вставлено між двома частинами тіла. Ікосаедр, наприклад, є скрученою подовженою п'ятикутною біпірамідою.
  • Нарощений означає, що піраміда або купол приєднані до грані тіла.
  • Відсічений означає, що піраміду або купол відрізано від тіла.
  • Скручений означає, що купол, який належить багатограннику, повернуто так само, як у повернутих бікуполах.

Останні три операції — нарощення, відсікання і поворот — на досить великих багатогранниках можуть бути виконані більше одного разу. Для операцій, здійснених два рази, додається двічі. (Двічі скручене тіло має два повернутих куполи.) Для операцій, виконаних три рази, додається тричі. (У тричі відсіченого тіла видалено три піраміди або куполи.)

Іноді слова двічі недостатньо. Необхідно відрізняти тіла, в яких змінено дві протилежні грані від тіл, в яких змінено інші грані. Коли змінені грані паралельні, до назви додається протилежно. (Двічі протилежно нарощене тіло має дві паралельні грані (протилежні) з доданими тілами.) Якщо ж зміни стосуються граней, які не є протилежними, до назви додається, косо. (Двічі косо нарощене тіло має дві грані з доданими тілами, але ці грані не протилежні.)

Кілька назв походять від багатокутників, з яких зібрано тіло Джонсона.

Якщо визначити місяць як групу з двох трикутників, приєднаних до квадрата, слово клинокорона відповідає клиновидній короновидній групі, утвореній двома місяцями. Слово двоклиноїд або двоклинник означає дві такі групи.

У цій статті використовуються назви зі статті Залгаллера[3]. Разом з номерами багатогранників, даними Джонсоном, у дужках наведено складений номер зі статті Залгаллера. У цьому складеному номері

Пn позначає призму з n-кутною основою.
Аn позначає антипризму з n-кутною основою.
Мn позначає тіло з індексом n (тобто в цьому випадку тіло будується на основі іншого тіла).
Підкреслення означає поворот тіла.

Зауваження: Мn не збігається з Jn. Так, квадратна піраміда J12) має індекс 1 у Джонсона і індекс 2 у Залгаллера.

Список[ред. | ред. код]

Піраміди[ред. | ред. код]

Перші два тіла Джонсона, J1 і J2, є пірамідами. Трикутна піраміда є правильним тетраедром, тобто не є тілом Джонсона.

Піраміди
Правильні J12) J23)
Трикутна піраміда
(тетраедр)
Квадратна піраміда П'ятикутна піраміда[en]
Tetrahedron.png Square pyramid.png Pentagonal pyramid.png
Tetrahedron flat.svg Johnson solid 1 net.png Johnson solid 2 net.png

Куполи й ротонди[ред. | ред. код]

Наступні чотири багатогранники — три куполи й одна ротонда.

Куполи Ротонди
Однорідні J34) J45) J56) J69)
Трикутна призма Трисхилий купол Чотирисхилий купол П'ятисхилий купол П'ятисхила ротонда
Triangular prism wedge.png Triangular cupola.png Square cupola.png Pentagonal cupola.png Pentagonal rotunda.png
Johnson solid 3 net.png Johnson solid 4 net.png Johnson solid 5 net.png Johnson solid 6 net.png
Пов'язані однорідні багатогранники
Кубооктаедр Ромбокубооктаедр Ромбоікосододекаедр Ікосододекаедр
Cuboctahedron.png Small rhombicuboctahedron.png Small rhombicosidodecahedron.png Icosidodecahedron.png

Подовжені і скручені подовжені піраміди[ред. | ред. код]

Наступні п'ять багатогранників Джонсона є подовженими і скрученими подовженими пірамідами. Їх отримують склеюванням двох багатогранників. У разі скрученої подовженої трикутної піраміди три пари суміжних трикутників копланарні, тобто тіло не є багатогранником Джонсона.

Подовжені піраміди[en]
(або нарощені призми)
Скручені подовжені піраміди[en]
(або нарощені антипризми)
J713) J824) J935) Копланарна J1024) J1135)
Подовжена трикутна піраміда Подовжена чотирикутна піраміда Подовжена п'ятикутна піраміда Скручена подовжена трикутна піраміда Скручена подовжена чотирикутна піраміда Скручена подовжена п'ятикутна піраміда
Нарощена трикутна призма Нарощений куб Нарощена п'ятикутна призма Нарощений октаедр Нарощена квадратна антипризма Нарощена п'ятикутна антипризма
Elongated triangular pyramid.png Elongated square pyramid.png Elongated pentagonal pyramid.png Augmented octahedron.png Gyroelongated square pyramid.png Gyroelongated pentagonal pyramid.png
Johnson solid 7 net.png Johnson solid 8 net.png Johnson solid 9 net.png Augmented octahedgon net.png Johnson solid 10 net.png Johnson solid 11 net.png
Утворені з багатогранників
Тетраедр
Трикутна призма
Квадратна піраміда
Куб
П'ятикутна піраміда[en]
П'ятикутна призма
Тетраедр
Октаедр
Квадратна піраміда
Квадратна антипризма
П'ятикутна піраміда[en]
П'ятикутна антипризма
Tetrahedron.png Triangular prism.png Square pyramid.png Hexahedron.png Pentagonal pyramid.png Pentagonal prism.png Tetrahedron.png Octahedron.png Square pyramid.png Square antiprism.png Pentagonal pyramid.png Pentagonal antiprism.png

Біпіраміди[ред. | ред. код]

Наступними багатогранниками Джонсона є біпіраміди, подовжені біпіраміди[en] і скручені подовжені біпіраміди[en]:

Біпіраміди Подовжені біпіраміди[en] Скручені подовжені біпіраміди[en]
J12(2М1) Правильна J13(2М3) J14131) J15242) J16353) Копланарна J17242) Правильні
Трикутна біпіраміда Квадратна біпіраміда
(октаедр)
П'ятикутна біпіраміда Подовжена трикутна біпіраміда Подовжена чотирикутна біпіраміда Подовжена п'ятикутна біпіраміда Скручена подовжена трикутна біпіраміда
(ромбоедр)
Скручена подовжена чотирикутна біпіраміда Скручена подовжена п'ятикутна біпіраміда
(ікосаедр)
Triangular dipyramid.png Octahedron.png Pentagonal dipyramid.png Elongated triangular dipyramid.png Elongated square dipyramid.png Elongated pentagonal dipyramid.png Gyroelongated triangular bipyramid.png Gyroelongated square dipyramid.png Pentagonal gyroelongated bipyramid.png
Johnson solid 12 net.png Octahedron flat.svg Johnson solid 13 net.png Johnson solid 14 net.png Johnson solid 15 net.png Johnson solid 16 net.png Johnson solid 17 net.png Icosahedron flat.svg
Утворені з багатогранників
Тетраедр Квадратна піраміда П'ятикутна піраміда[en] Тетраедр
Трикутна призма
Квадратна піраміда
Куб
П'ятикутна піраміда[en]П'ятикутна призма Тетраедр
Октаедр
Квадратна піраміда
Чотирикутна антипризма[en]
П'ятикутна піраміда[en]
П'ятикутна антипризма
Tetrahedron.png Square pyramid.png Pentagonal pyramid.png Tetrahedron.pngTriangular prism.png Square pyramid.pngHexahedron.png Pentagonal pyramid.pngPentagonal prism.png Tetrahedron.pngOctahedron.png Square pyramid.pngSquare antiprism.png Pentagonal pyramid.pngPentagonal antiprism.png

Подовжені куполи та ротонди[ред. | ред. код]

Подовжені куполи[en] Подовжена ротонда Скручені подовжені куполи[en] Скручена подовжена ротонда
Копланарні J1846) J1958) J20610) J21910) Увігнуті J2246) J2358) J24610) J25910)
Подовжений двосхилий купол Подовжений трисхилий купол Подовжений чотирисхилий купол Подовжений п'ятисхилий купол Подовжена п'ятисхила ротонда Скручений подовжений двосхилий купол Скручений подовжений трисхилий купол Скручений подовжений чотирисхилий купол Скручений подовжений п'ятисхилий купол Скручена подовжена п'ятисхила ротонда
Elongated digonal cupola.png Elongated triangular cupola.png Elongated square cupola.png Elongated pentagonal cupola.svg Elongated pentagonal rotunda.png Gyroelongated digonal cupola.png Gyroelongated triangular cupola.png Gyroelongated square cupola.png Gyroelongated pentagonal cupola.png Gyroelongated pentagonal rotunda.png
Johnson solid 18 net.png Johnson solid 19 net.png Johnson solid 20 net.png Johnson solid 21 net.png Johnson solid 22 net.png Johnson solid 23 net.png Johnson solid 24 net.png Johnson solid 25 net.png
Утворені з багатогранників
Квадратна призма
Трикутна призма
Шестикутна призма
Трисхилий купол
Восьмикутна призма
Чотирисхилий купол
Десятикутна призма
П'ятисхилий купол
Десятикутна призма
П'ятисхила ротонда
Чотирикутна антипризма[en]Трикутна призма Шестикутна антипризма
Трисхилий купол
Восьмикутна антипризма[en]Чотирисхилий купол Десяткутна антипризма[en]П'ятисхилий купол Десяткутна антипризма[en]П'ятисхила ротонда
Tetragonal prism.pngTriangular prism.png Hexagonal prism.pngTriangular cupola.png Octagonal prism.pngSquare cupola.png Decagonal prism.pngPentagonal cupola.png Decagonal prism.pngPentagonal rotunda.png Square antiprism.pngTriangular prism.png Hexagonal antiprism.pngTriangular cupola.png Octagonal antiprism.pngSquare cupola.png Decagonal antiprism.pngPentagonal cupola.png Decagonal antiprism.pngPentagonal rotunda.png

Бікуполи[ред. | ред. код]

Повернуті трикутні бікуполи є напівправильними багатогранниками (в цьому випадку — архімедовими тілами), тобто вони не належать до класу багатогранників Джонсона.

Прямі куполи Повернуті куполи
Копланарний J27(2М4) J28(2М5) J30(2М6) J263+П3) Напівправильний J295+М5) J316+М6)
Двосхилий прямий бікупол Трисхилий прямий бікупол Чотирисхилий прямий бікупол П'ятисхилий прямий бікупол Двосхилий повернутий бікупол
(гіробіфастигіум)
Трикутний повернутий бікупол
(кубооктаедр)
Чотирисхилий повернутий бікупол П'ятисхилий повернутий бікупол
Digonal orthobicupola.png Triangular orthobicupola.png Square orthobicupola.png Pentagonal orthobicupola.png Gyrobifastigium.png Cuboctahedron.png Square gyrobicupola.png Pentagonal gyrobicupola.png
Johnson solid 27 net.png Johnson solid 28 net.png Johnson solid 30 net.png Johnson solid 26 net.png Cuboctahedron flat.svg Johnson solid 29 net.png Johnson solid 31 net.png
Утворені з багатогранників
Triangular prism.png Triangular cupola.png Square cupola.png Pentagonal cupola.png Triangular prism.png Triangular cupola.png Square cupola.png Pentagonal cupola.png

Куполоротонди і біротонди[ред. | ред. код]

Куполоротонди Біротонди
J3269) J336+М9) J34(2М9) Напівправильна
П'ятисхила пряма куполоротонда П'ятисхила повернута куполоротонда П'ятисхила пряма біротонда П'ятисхила повернута біротонда
(ікосододекаедр)
Pentagonal orthocupolarotunda.png Pentagonal gyrocupolarotunda.png Pentagonal orthobirotunda.png Icosidodecahedron.png
Johnson solid 32 net.png Johnson solid 33 net.png Johnson solid 34 net.png Icosidodecahedron flat.svg
Утворені з багатогранників
П'ятисхилий купол
П'ятисхила ротонда
П'ятисхила ротонда
Pentagonal cupola.pngPentagonal rotunda.png Pentagonal rotunda.png

Подовжені бікуполи[ред. | ред. код]

Подовжені прямі бікуполи[en] Подовжені повернуті бікуполи[en]
Копланарний J35464) Напівправильний J386106) Копланарний J3646+М4) J3758+М5) J39610+М6)
Подовжений двосхилий прямий бікупол Подовжений трисхилий прямий бікупол Подовжений квадратний прямий бікупол
(ромбокубооктаедр)
Подовжений п'ятисхилий прямий бікупол Подовжений двосхилий повернутий бікупол Подовжений тисхилий повернутий бікупол Подовжений чотирисхилий повернутий бікупол Подовжений п'ятисхилий повернутий бікупол
Elongated digonal orthobicupola.png Elongated triangular orthobicupola.png Small rhombicuboctahedron.png Elongated pentagonal orthobicupola.png Elongated digonal gyrobicupola.png Elongated triangular gyrobicupola.png Elongated square gyrobicupola.png Elongated pentagonal gyrobicupola.png
Johnson solid 35 net.png Rhombicuboctahedron flat.png Johnson solid 38 net.png Johnson solid 36 net.png Johnson solid 37 net.png Johnson solid 39 net.png

Подовжені куполоротонди і біротонди[ред. | ред. код]

Подовжені куполоротонди Подовжені біротонди
J406109) J41610+М9) J429109) J43910+М9)
Подовжена п'ятисхила пряма куполоротонда Подовжена п'ятисхила повернута куполоротонда Подовжена п'ятисхила пряма біротонда Подовжена п'ятисхила повернута біротонда
Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png Elongated pentagonal orthobirotunda.png Elongated pentagonal gyrobirotunda.png
Johnson solid 40 net.png Johnson solid 41 net.png Johnson solid 42 net.png Johnson solid 43 net.png

Скручені подовжені бікуполи, куполоротонди і біротонди[ред. | ред. код]

Плосконосі[en] антипризми можна побудувати альтеруванням зрізаних антипризм. Два тіла є багатогранниками Джонсона, одне тіло правильне, а решту неможливо побудувати за допомогою правильних трикутників.

Скручені подовжені бікуполи[en] Скручена подовжена куполоротонда Скручена подовжена біротонда
Неопуклі J44464) J45585) J466106) J476109) J489109)
Скручений подовжений двосхилий бікупол Скручений подовжений трисхилий бікупол Скручений подовжений чотирисхилий бікупол Скручений подовжений п'ятисхилий бікупол Скручена подовжена п'ятисхила куполоротонда Скручена подовжена п'ятисхила біротонда
Gyroelongated digonal bicupola.png Gyroelongated triangular bicupola.png Gyroelongated square bicupola.png Gyroelongated pentagonal bicupola.png Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png Gyroelongated pentagonal birotunda.png
Johnson solid 44 net.png Johnson solid 45 net.png Johnson solid 46 net.png Johnson solid 47 net.png Johnson solid 48 net.png
Утворені з багатогранників
Трикутна призма
Чотрикутна антипризма[en]
Трисхилий купол
Шестикутна антипризма
Чотирисхилий купол
Восьмикутна антипризма[en]
П'ятисхилий купол
Десятикутна антипризма[en]
П'ятисхилий купол
П'ятисхила ротонда
Десятикутна антипризма[en]
П'ятисхила ротонда
Десятиугольная антипризма[en]
Triangular prism.pngSquare antiprism.png Triangular cupola.pngHexagonal antiprism.png Square cupola.pngOctagonal antiprism.png Pentagonal cupola.pngDecagonal antiprism.png Pentagonal cupola.pngPentagonal rotunda.pngDecagonal antiprism.png Pentagonal rotunda.pngDecagonal antiprism.png

Нарощені трикутні призми[ред. | ред. код]

J71+ П3)
(повторно)
J4932) J503+2М2) J513+3М2)
Подовжена трикутна піраміда Нарощена трикутна призма Двічі нарощена трикутна призма Тричі нарощена трикутна призма
Elongated triangular pyramid.png Augmented triangular prism.png Biaugmented triangular prism.png Triaugmented triangular prism.png
Johnson solid 7 net.png Johnson solid 49 net.png Johnson solid 50 net.png Johnson solid 51 net.png
Утворені з багатогранників
Трикутна призма
Тетраедр
Трикутна призма
Квадратна піраміда
Triangular prism.png Tetrahedron.png Triangular prism.png Square pyramid.png

Нарощені п'ятикутні і шестикутні призми[ред. | ред. код]

Нарощені п'ятикутні призми Нарощені шестикутні призми
J5252) J535+2М2) J5462) J55262) J566+2М2) J576+3М2)
Нарощена п'ятикутна призма Двічі нарощена п'ятикутна призма Нарощена шестикутна призма Двічі протилежно нарощена шестикутна призма Двічі косо нарощена шестикутна призма Тричі нарощена шестикутна призма
Augmented pentagonal prism.png Biaugmented pentagonal prism.png Augmented hexagonal prism.png Parabiaugmented hexagonal prism.png Metabiaugmented hexagonal prism.png Triaugmented hexagonal prism.png
Johnson solid 52 net.png Johnson solid 53 net.png Johnson solid 54 net.png Johnson solid 55 net.png Johnson solid 56 net.png Johnson solid 57 net.png
Утворені з багатогранників
П'ятикутна призма
Квадратна піраміда
Шестикутна призма
Квадратна піраміда
Pentagonal prism.png Square pyramid.png Hexagonal prism.png Square pyramid.png

Нарощені додекаедри[ред. | ред. код]

Правильний J58153) J593153) J6015+2М3) J6115+3М3)
Додекаедр Нарощений додекаедр Двічі протилежно нарощений додекаедр Двічі косо нарощений додекаедр Тричі нарощений додекаедр
Dodecahedron.png Augmented dodecahedron.png Parabiaugmented dodecahedron.png Metabiaugmented dodecahedron.png Triaugmented dodecahedron.png
Dodecahedron flat.svg Johnson solid 58 net.png Johnson solid 59 net.png Johnson solid 60 net.png Johnson solid 61 net.png
Утворені з багатогранників
Додекаедр і пятиугольная пирамида[en]
Dodecahedron.png Pentagonal pyramid.png

Інші[ред. | ред. код]

Правильний J1135)
(повторно)
J6273) J637) J6471)
Ікосаедр Відсічений ікосаедр
(Скручена подовжена п'ятикутна піраміда)
Двічі косо відсічений ікосаедр Тричі відсічений ікосаедр Нарощений тричі відсічений ікосаедр
Icosahedron.png Gyroelongated pentagonal pyramid.png Metabidiminished icosahedron.png Tridiminished icosahedron.png Augmented tridiminished icosahedron.png
Icosahedron flat.svg Johnson solid 11 net.png Johnson solid 62 net.png Johnson solid 63 net.png Johnson solid 64 net.png
Утворені з багатогранників
Тричі відсічений ікосаедр, пятиугольная пирамида[en] і тетраедр
Tridiminished icosahedron.pngPentagonal pyramid.pngTetrahedron.png

Нарощені зрізані тетраедри і куби[ред. | ред. код]

J65104) J66115) J675115)
Нарощений зрізаний тетраедр Нарощений зрізаний куб Двічі нарощений зрізаний куб
Augmented truncated tetrahedron.png Augmented truncated cube.png Biaugmented truncated cube.png
Johnson solid 65 net.png Johnson solid 66 net.png Johnson solid 67 net.png
Утворені з багатогранників
Зрізаний тетраедр
Трисхилий купол
Зрізаний куб
Чотирисхилий купол
Truncated tetrahedron.pngTriangular cupola.png Truncated hexahedron.pngSquare cupola.png

Нарощені зрізані додекаедри[ред. | ред. код]

Напівправильний J68612) J696126) J7012+2М6) J7112+3М6)
Зрізаний додекаедр Нарощений зрізаний додекаедр Двічі протилежно нарощений зрізаний додекаедр Двічі косо нарощений зрізаний додекаедр Тричі нарощений зрізаний додекаедр
Truncated dodecahedron.png Augmented truncated dodecahedron.png Parabiaugmented truncated dodecahedron.png Metabiaugmented truncated dodecahedron.png Triaugmented truncated dodecahedron.png
Truncated dodecahedron flat.png Johnson solid 68 net.png Johnson solid 69 net.png Johnson solid 70 net.png Johnson solid 71 net.png

Скручені ромбоікосододекаедри[ред. | ред. код]

J72(М6146=М613+2М6) J73(М614+М6) J74(2М6136) J75(3М613)
Скручений ромбоікосододекаедр Двічі протилежно скручений ромбоікосододекаедр Двічі косо скручений ромбоікосододекаедр Тричі скручений ромбоікосододекаедр
Gyrate rhombicosidodecahedron.png Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png Trigyrate rhombicosidodecahedron.png
Johnson solid 72 net.png Johnson solid 73 net.png Johnson solid 74 net.png Johnson solid 75 net.png

Відсічені ромбоікосододекаедри[ред. | ред. код]

J76614=2М613) J7714+М6) J78136+М6) J7913+2М6)
Відсічений ромбоікосододекаедр Протилежно скручений відсічений ромбоікосододекаедр Косо скручений відсічений ромбоікосододекаедр Двічі косо скручений відсічений ромбоікосододекаедр
Diminished rhombicosidodecahedron.png Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
Johnson solid 76 net.png Johnson solid 77 net.png Johnson solid 78 net.png Johnson solid 79 net.png
J8014) J81136) J8214+М6) J8313)
Двічі протилежно відсічений ромбоікосододекаедр Двічі косо відсічений ромбоікосододекаедр Скручений двічі відсічений ромбоікосододекаедр Тричі відсічений ромбоікосододекаедр
Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png Tridiminished rhombicosidodecahedron.png
Johnson solid 80 net.png Johnson solid 81 net.png Johnson solid 82 net.png Johnson solid 83 net.png

Плосконосі антипризми[ред. | ред. код]

Плосконосі[en] антипризми можна побудувати альтеруванням зрізаних антипризм. Два тіла є багатогранниками Джонсона, одне тіло правильне, а решту неможливо побудувати за допомогою правильних трикутників.

J8425) Правильний J8528) Неправильний
Тіло Джонсона Правильний Тіло Джонсона Увігнутий…
Snub digonal antiprism.png
Плосконосий двоклиноїд
ss{2,4}
Snub triangular antiprism.png
Ікосаедр
ss{2,6}
Snub square antiprism colored.png
Плосконоса квадратна антипризма
ss{2,8}
Snub pentagonal antiprism.png
ss{2,10}…
Snub disphenoid net snubcoloring.png Snub triangular antiprism net.png Snub square antiprism net snubcoloring.png

Відсічені ікосаедри[ред. | ред. код]

J8622) J87223) J8823)
Клинокорона Нарощена клинокорона Велика клинокорона
Sphenocorona.png Augmented sphenocorona.png Sphenomegacorona.png
Johnson solid 86 net.png Johnson solid 87 net.png Johnson solid 88 net.png
J8921) J9024) J918) J9220)
Сплощена велика клинокорона Оперезаний двоклинник Подвійна серпоротонда Сплощена трикутна клиноротонда
Hebesphenomegacorona.png Disphenocingulum.png Bilunabirotunda.png Triangular hebesphenorotunda.png
Johnson solid 89 net.png Johnson solid 90 net.png Johnson solid 91 net.png Johnson solid 92 net.png

Класифікація за типами граней[ред. | ред. код]

Трикутні грані[ред. | ред. код]

П'ять багатогранників Джонсона є дельтаедрами, тобто, всі їх грані — правильні трикутники:

J12(2М1) Трикутна біпіраміда Triangular dipyramid.png: J13(2М3) П'ятикутна біпіраміда Pentagonal dipyramid.png: J17242) Скручена подовжена чотирикутна біпіраміда Gyroelongated square dipyramid.png
J513+3М2) Тричі нарощена трикутна призма Triaugmented triangular prism.png: J8425) Плосконосий двоклиноїд Snub disphenoid.png

Трикутні та квадратні грані[ред. | ред. код]

Двадцять чотири багатогранники Джонсона мають тільки трикутні та чотирикутні грані:

J12)
Квадратна піраміда Square pyramid.png: J713)
Подовжена трикутна піраміда Elongated triangular pyramid.png: J824)
Подовжена чотирикутна піраміда Elongated square pyramid.png: J1024)
Скручена подовжена чотирикутна піраміда Gyroelongated square pyramid.png: J14131)
Подовжена трикутна біпіраміда Elongated triangular dipyramid.png: J15242)
Подовжена чотирикутна біпіраміда Elongated square dipyramid.png: J16353)
Подовжена п'ятикутна біпіраміда Elongated pentagonal dipyramid.png: J263+П3)
Двосхилий повернутий бікупол (гіробіфастигіум) Gyrobifastigium.png
J27 (2М4)
Трисхилий прямий бікупол Triangular orthobicupola.png: J28 (2М5)
Чотирисхилий прямий бікупол Square orthobicupola.png: J295+М5) Чотирисхилий повернутий бікупол Square gyrobicupola.png: J35464)
Подовжений трисхилий прямий бікупол Elongated triangular orthobicupola.png: J3646+М4)
Подовжений трисхилий повернутий бікупол Elongated triangular gyrobicupola.png: J3758+М5)
Подовжений чотирисхилий повернутий бікупол Elongated square gyrobicupola.png: J44464)
Скручений подовжений трисхилий бікупол Gyroelongated triangular bicupola.png: J45585)
Скручений подовжений чотирисхилий бікупол Gyroelongated square bicupola.png
J4932)
Нарощена трикутна призма Augmented triangular prism.png: J503+2М2)
Двічі нарощена трикутна призма Biaugmented triangular prism.png: J8528)
Плосконоса квадратна антипризма Snub square antiprism.png: J8622)
Клинокорона Sphenocorona.png: J87223)
Нарощена клинокорона Augmented sphenocorona.png: J8823)
Велика клинокорона Sphenomegacorona.png: J8921)
Сплощена велика клинокорона Hebesphenomegacorona.png: J9024)
Оперезаний двоклинник Disphenocingulum.png

Трикутні і п'ятикутні грані[ред. | ред. код]

Одинадцять тіл Джонсона мають тільки трикутні і п'ятикутні грані:

J23)
П'ятикутна піраміда[en] Pentagonal pyramid.png: J1135)
Скручена подовжена п'ятикутна піраміда Gyroelongated pentagonal pyramid.png: J34(2М9)
П'ятисхила пряма біротонда Pentagonal orthobirotunda.png: J489109)
Скручена подовжена п'ятисхила біротонда Gyroelongated pentagonal birotunda.png: J58153)
Нарощений додекаедр Augmented dodecahedron.png: J593153)
Двічі протилежно нарощений додекаедр Parabiaugmented dodecahedron.png
J6015+2М3)
Двічі косо нарощений додекаедр Metabiaugmented dodecahedron.png: J6115+2М3)
Тричі нарощений додекаедр Triaugmented dodecahedron.png: J6273)
Двічі косо відсічений ікосаедр Metabidiminished icosahedron.png: J637)
Тричі відсічений ікосаедр Tridiminished icosahedron.png: J6471)
Нарощений тричі відсічений ікосаедр Augmented tridiminished icosahedron.png

Трикутні, квадратні і шестикутні грані[ред. | ред. код]

Вісім багатогранників Джонсона мають тільки трикутні, квадратні і шестикутні грані:

J34)
Трисхилий купол Triangular cupola.png: J1846)
Подовжений трисхилий купол Elongated triangular cupola.png: J2246)
Скручений подовжений трисхилий купол Gyroelongated triangular cupola.png: J5462)
Нарощена шестикутна призма Augmented hexagonal prism.png
J55262)
Двічі протилежно нарощена шестикутна призма Parabiaugmented hexagonal prism.png: J566+2М2)
Двічі косо нарощена шестикутна призма Metabiaugmented hexagonal prism.pngJ576+3М2)
Тричі нарощена шестикутна призма Triaugmented hexagonal prism.png: J65104)
Нарощений зрізаний тетраедр Augmented truncated tetrahedron.png

Трикутні, квадратні і восьмикутні грані[ред. | ред. код]

П'ять багатогранників Джонсона мають тільки трикутні, квадратні і восьмикутні грані:

J45)
Чотирисхилий купол Square cupola.png: J195+ П8)
Подовжений чотирисхилий купол Elongated square cupola.png: J235+ А8)
Скручений подовжений чотирисхилий купол Gyroelongated square cupola.png
J66115)
Нарощений зрізаний куб Augmented truncated cube.png: J675115)
Двічі нарощений зрізаний куб Biaugmented truncated cube.png

Вписувані у сферу багатогранники Джонсона[ред. | ред. код]

25 багатогранників Джонсона мають вершини, які лежать на одній сфері: 1-6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72-83. Всі ці багатогранники можна отримати з правильних або однорідних багатогранників шляхом повороту (купола) або відсікання (купола чи піраміди)[4].

Октаедр Кубооктаедр Ромбокубооктаедр
J12)
Square pyramid.png
J34)
Triangular cupola.png
J27(2М4)

Triangular orthobicupola.png

J45)
Square cupola.png
J1958)
Elongated square cupola.png
J37585)
Elongated square gyrobicupola.png
Ікосаедр Ікосододекаедр
J23)[en]
Pentagonal pyramid.png
J637)
Tridiminished icosahedron.png
J6273)

Metabidiminished icosahedron.png

J1135)
Gyroelongated pentagonal pyramid.png
J69)
Pentagonal rotunda.png
J34(2М9)
Pentagonal orthobirotunda.png
Ромбоікосододекаедр (відсічений)
J56)
Pentagonal cupola.png
J76614)
Diminished rhombicosidodecahedron.png
J8014)
Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png
J81136)
Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png
J8313)
Tridiminished rhombicosidodecahedron.png
Ромбоікосододекаедр (+ поворот)
J72(М6146)
Gyrate rhombicosidodecahedron.png
J73(М614+М6)
Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png
J74(2М6136)
Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png
J75(3М613)
Trigyrate rhombicosidodecahedron.png
J7714+М6)
Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
J78136+М6)
Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
J7913+2М6)
Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png
J8214+М6)
Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Pseudo Rhombicuboctahedra.
  2. Johnson N. W. Convex polyhedra with regular faces (preliminary report) // Notices Amer. Math. Soc. — 1960. — 10 листопада. — С. 952.
  3. Залгаллер, 1967
  4. Johnson solids et al.

Література[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]