Стала Хінчина

Стала Хінчина
Названо на честь	Хінчин Олександр Яковичd
Числове значення	2,685452001 ± 1,0E−10
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Стала Хінчина у Вікісховищі

Стала Хінчина — дійсна константа $K_{0}\approx 2{,}685452$, що дорівнює середньому геометричному елементів розкладу в ланцюговий дріб будь-якого з майже всіх дійсних чисел.

Сталу Хінчина назвали на честь О. Я. Хінчина, який знайшов і довів існування цієї сталої і формулу для неї 1935 року. Позначення $K_{0}$ або $K$ відповідає першій букві транслітерації прізвища «Хінчин» в європейських мовах.

Визначення

Для майже будь-якого дійсного числа $x$ елементи $a_{i}$ його розкладу в ланцюговий дріб мають скінченне середнє геометричне, яке не залежить від $x$. Ця величина і називається сталою Хінчина.

Іншими словами, якщо

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;$ ,

де $a_{0}$ ціле, а решта $a_{i}$ натуральні, то для майже всіх $x$ виконується

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2{,}6854520010\ldots$ (послідовність A002210 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

При цьому сталу Хінчина $K_{0}$ можна виразити у вигляді нескінченного добутку

$K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log _{2}r}$ .

Значимість

Розклад у ланцюговий дріб будь-якого дійсного числа — це послідовність натуральних чисел, і будь-яка послідовність натуральних чисел є розкладом у ланцюговий дріб якогось дійсного числа, що лежить між 0 і 1. Проте, якщо будь-яким чином випадково вибирати елементи послідовності натуральних чисел, то середнє геометричне елементів, взагалі кажучи, зовсім не обов'язково буде однаковим для всіх або майже всіх одержуваних послідовностей. Тому існування сталої Хінчина — та обставина, що середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб виявляється однаковим для багатьох дійсних чисел, — це фундаментальне твердження про дійсні числа та їх розклади в ланцюговий дріб, витончений і глибокий результат, один з найбільш вражаючих фактів у математиці.

Схема доведення

Тут наводиться доведення існування сталої Хінчина і формули для неї, що належить Чеславу Риль-Нарджевському, яке простіше від доведення Хінчина, який не використовував ергодичної теорії.

Оскільки перший елемент $a_{0}$ розкладу числа $x$ у ланцюговий дріб не має ніякого значення у твердженні, що доводиться, і оскільки міра Лебега раціональних чисел дорівнює нулю, то ми можемо обмежитися розглядом ірраціональних чисел на відрізку $(0,1)$, Тобто множиною $I=[0,1]\setminus \mathbb {Q}$. Ці числа мають взаємно-однозначну відповідність з ланцюговими дробами вигляду $[0;a_{1},a_{2},a_{3}\ldots ]$. Введемо відображення Гаусса $T\colon I\to I$ :

$T([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=[0;a_{2},a_{3},\ldots ]$ .

Для кожної борелівської підмножини $E$ множини $I$ також визначимо міру Гаусса — Кузьміна:

$\mu (E)={\frac {1}{\ln 2}}\int _{E}{\frac {dx}{1+x}}$ .

тоді $\mu$ — імовірнісна міра на сигма-алгебрі борелівських підмножин $I$. Міра $\mu$ еквівалентна мірі Лебега на $I$, але володіє додатковою властивістю: перетворення $T$ зберігає міру $\mu$. Більше того, можна показати, що $T$ — ергодичне перетворення вимірюваного простору $I$, забезпеченого мірою $\mu$ (це найскладніший момент у доведенні). Тоді ергодична теорема каже, що для будь-якої $\mu$ -інтегровної функції $f$ на $I$ середнє значення $f\left(T^{k}x\right)$ — однакове майже для всіх $x$:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int _{I}f\,d\mu$ для майже всіх $x\in I$ за мірою $\mu$.

Вибираючи функцію $f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=\ln a_{1}$, отримуємо:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})=\int _{I}f\,d\mu =\sum _{r=1}^{\infty }\ln r{\frac {\ln {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)}}{\bigr )}}{\ln 2}}$

для майже всіх $[0;a_{1},a_{2},\ldots ]$ з $I$.

Беручи експоненту від обох частин рівності, отримуємо зліва середнє геометричне перших $n$ елементів ланцюгового дробу при $n\to \infty$, а праворуч — постійну Хінчина.

Розкладання в ряд

Постійна Хінчина може бути подана у вигляді ряду:

$\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$ ,

або, розділяючи члени ряду,

$\ln K_{0}={\frac {1}{\ln 2}}\left[-\sum _{k=2}^{N}\ln \left({\frac {k-1}{k}}\right)\ln \left({\frac {k+1}{k}}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n,N+1)}{n}}\sum _{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\right]$ ,

де $N$ — деяке фіксоване ціле число, $\zeta (s,q)$ — дзета-функція Гурвіца. Обидва ряди швидко збігаються, тому що $\zeta (n)-1$ швидко наближається до нуля зі зростанням $n$. Можна також дати розклад через дилогарифм:

$\ln K_{0}=\ln 2+{\frac {1}{\ln 2}}\left[\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {-1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {Li} _{2}\left({\frac {4}{k^{2}}}\right)\right]$ .

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел

Середні геометричні від перших $n$ елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел залежно від $n$. Зелений графік відповідає числу $\sin 1$ — схоже, що він збігається до сталої Хінчина, але це не доведено. Жовтий графік відповідає описаному в тексті числу, спеціально побудованому так, щоб графік сходився до сталої Хінчина. Червоний і синій графіки відповідають числу e і числу ${\sqrt {31}}$, Відповідно; вони не збігаються до сталої Хінчина.

Хоча середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб дорівнює $K_{0}$ для майже всіх чисел, але це не доведено практично для жодного конкретного числа $x$, крім тих, які спеціально сконструйовані так, щоб задовольняти цьому твердженню. Таке число можна побудувати, задаючи відразу елементи його розкладу в ланцюговий дріб, наприклад, так: будь-яке скінченне число елементів на початку ніяк не вплинуть на граничне значення середнього геометричного, тому їх можна взяти будь-якими (наприклад, можна взяти перші 60 елементів рівними 4); кожний наступний елемент береться рівним 2 або 3, залежно від того, більше чи менше від постійної Хінчина середнє геометричне всіх попередніх елементів. Для даного конкретного прикладу, проте, не виконується статистика Гаусса — Кузьміна.

До чисел $x$, про які відомо, що середнє геометричне елементів їх розкладу в ланцюговий дріб не може дорівнювати сталій Хінчина, відносяться раціональні числа, квадратичні ірраціональності (корені всіх квадратних рівнянь з цілими коефіцієнтами) і основа натурального логарифма $e$. Хоча раціональних чисел і квадратичних ірраціональностей нескінченно багато, але вони утворюють множину міри нуль, і тому їх не потрібно включати до «майже всіх» чисел з визначення сталої Хінчина.

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб деяких чисел, схоже (виходячи з безпосередніх обчислень середніх для великих $n$), збігається до сталої Хінчина, хоча в жодному з цих випадків рівність в границі не доведена. Зокрема, до цих чисел відносяться число π, стала Ейлера — Маскероні, число $\sin 1$, ${\sqrt[{3}]{2}}$, сама стала Хінчина. Остання обставина дозволяє припустити, що стала Хінчина ірраціональна, але точно невідомо, чи є стала Хінчина раціональним, алгебраїчним чи трансцендентним числом.

Середні степеневі

Можна розглядати сталу Хінчина як окремий випадок середнього степеневого елементів розкладу чисел у ланцюговий дріб. Для будь-якої послідовності $\{a_{n}\}$ середнє степеня $p$ дорівнює

$K_{p}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{p}\right]^{1/p}$ .

Якщо $\{a_{n}\}$ — елементи розкладу числа $x$ у ланцюговий дріб, то $K_{p}$ для будь-якого $p<1$ і майже всіх $x$ задаються формулою

$K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}$ .

Вона отримується обчисленням відповідного степеневого середнього за статистикою Гаусса — Кузьміна і відповідає вибору функції $f([0;a_{1},a_{2},\ldots ])=a_{1}^{p}$ у вищевикладеному доведенні. Можна показати, що значення $K_{0}$ виходить в границі $p\to 0$.

Зокрема, можна отримати середнє гармонійне елементів розкладу в ланцюговий дріб. Це число дорівнює

$K_{-1}=1{,}74540566240\ldots$ (послідовність A087491 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Література

• Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М. : Физматлит, 1960. — 112 с.
• Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E. On the Khinchine constant : [англ.] // Mathematics of Computation. — 1997. — Vol. 66, № 217. — С. 417—431. — DOI:10.1090/s0025-5718-97-00800-4. MR1377659.

Посилання

• 1000000 знаків сталої Хінчина після коми на сайті факультету математики Барселонського університету