Стала Хінчина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Стала Хінчина — дійсна константа , що дорівнює середньому геометричному елементів розкладу в ланцюговий дріб будь-якого з майже всіх дійсних чисел.

Сталу Хінчина назвали на честь О. Я. Хінчина[ru], який знайшов і довів існування цієї сталої і формулу для неї 1935 року[1]. Позначення [2] або [3] відповідає першій букві транслітерації прізвища «Хінчин» в європейських мовах.

Визначення[ред. | ред. код]

Для майже будь-якого дійсного числа елементи його розкладу в ланцюговий дріб мають скінченне середнє геометричне, яке залежить від [4]. Ця величина і називається сталою Хінчина.

Іншими словами, якщо

,

де ціле, а решта натуральні, то для майже всіх виконується

(послідовність A002210 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

При цьому сталу Хінчина можна виразити у вигляді нескінченного добутку

.

Значимість[ред. | ред. код]

Розклад у ланцюговий дріб будь-якого дійсного числа — це послідовність натуральних чисел, і будь-яка послідовність натуральних чисел є розкладом у ланцюговий дріб якогось дійсного числа, що лежить між 0 і 1. Проте, якщо будь-яким чином випадково вибирати елементи послідовності натуральних чисел, то середнє геометричне елементів, взагалі кажучи, зовсім не обов'язково буде однаковим для всіх або майже всіх одержуваних послідовностей. Тому існування сталої Хінчина — та обставина, що середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб виявляється однаковим для багатьох дійсних чисел, — це фундаментальне твердження про дійсні числа та їх розклади в ланцюговий дріб[5], витончений і глибокий результат[6], один з найбільш вражаючих фактів у математиці[7].

Схема доведення[ред. | ред. код]

Тут наводиться доведення існування сталої Хінчина і формули для неї, що належить Чеславу Риль-Нарджевському[pl][8], яке простіше від доведення Хінчина, який не використовував ергодичної теорії[9].

Оскільки перший елемент розкладу числа у ланцюговий дріб не має ніякого значення у твердженні, що доводиться, і оскільки міра Лебега раціональних чисел дорівнює нулю, то ми можемо обмежитися розглядом ірраціональних чисел на відрізку , Тобто множиною . Ці числа мають взаємно-однозначну відповідність з ланцюговими дробами вигляду . Введемо відображення Гаусса  :

.

Для кожної борелівської підмножини множини також визначимо міру Гаусса — Кузьміна:

.

тоді  — імовірнісна міра на сигма-алгебрі борелівських підмножин . Міра еквівалентна мірі Лебега на , але володіє додатковою властивістю: перетворення зберігає міру . Більше того, можна показати, що  — ергодичне перетворення вимірюваного простору , забезпеченого мірою (це найскладніший момент у доведенні). Тоді ергодична теорема каже, що для будь-якої -інтегровної функції на середнє значення  — однакове майже для всіх :

для майже всіх за мірою [9].

Вибираючи функцію , отримуємо:

для майже всіх з .

Беручи експоненту від обох частин рівності, отримуємо зліва середнє геометричне перших елементів ланцюгового дробу при , а праворуч — постійну Хінчина[9].

Розкладання в ряд[ред. | ред. код]

Постійна Хінчина може бути подана у вигляді ряду[10]:

,

або, розділяючи члени ряду,

,

де  — деяке фіксоване ціле число,  — дзета-функція Гурвіца. Обидва ряди швидко збігаються, тому що швидко наближається до нуля зі зростанням . Можна також дати розклад через дилогарифм[2]:

.

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел[ред. | ред. код]

Середні геометричні від перших елементів розкладу в ланцюговий дріб різних чисел залежно від . Зелений графік відповідає числу  — схоже, що він збігається до сталої Хінчина, але це не доведено. Жовтий графік відповідає описаному в тексті числу, спеціально побудованому так, щоб графік сходився до сталої Хінчина. Червоний і синій графіки відповідають числу e і числу , Відповідно; вони не збігаються до сталої Хінчина.

Хоча середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб дорівнює для майже всіх чисел, але це не доведено практично для жодного конкретного числа , крім тих, які спеціально сконструйовані так, щоб задовольняти цьому твердженню[3][11]. Таке число можна побудувати, задаючи відразу елементи його розкладу в ланцюговий дріб, наприклад, так: будь-яке скінченне число елементів на початку ніяк не вплинуть на граничне значення середнього геометричного, тому їх можна взяти будь-якими (наприклад, можна взяти перші 60 елементів рівними 4); кожний наступний елемент береться рівним 2 або 3, залежно від того, більше чи менше від постійної Хінчина середнє геометричне всіх попередніх елементів. Для даного конкретного прикладу, проте, не виконується статистика Гаусса — Кузьміна.

До чисел , про які відомо, що середнє геометричне елементів їх розкладу в ланцюговий дріб не може дорівнювати сталій Хінчина, відносяться раціональні числа, квадратичні ірраціональності (корені всіх квадратних рівнянь з цілими коефіцієнтами) і основа натурального логарифма . Хоча раціональних чисел і квадратичних ірраціональностей нескінченно багато, але вони утворюють множину міри нуль, і тому їх не потрібно включати до «майже всіх» чисел з визначення сталої Хінчина.

Середнє геометричне елементів розкладу в ланцюговий дріб деяких чисел, схоже (виходячи з безпосередніх обчислень середніх для великих ), збігається до сталої Хінчина, хоча в жодному з цих випадків рівність в границі не доведена. Зокрема, до цих чисел відносяться число π, стала Ейлера — Маскероні, число , , сама стала Хінчина. Остання обставина дозволяє припустити, що стала Хінчина ірраціональна, але точно невідомо, чи є стала Хінчина раціональним, алгебраїчним чи трансцендентним числом[3].

Середні степеневі[ред. | ред. код]

Можна розглядати сталу Хінчина як окремий випадок середнього степеневого елементів розкладу чисел у ланцюговий дріб. Для будь-якої послідовності середнє степеня дорівнює

.

Якщо  — елементи розкладу числа у ланцюговий дріб, то для будь-якого і майже всіх задаються формулою

.

Вона отримується обчисленням відповідного степеневого середнього за статистикою Гаусса — Кузьміна і відповідає вибору функції у вищевикладеному доведенні[2][8]. Можна показати, що значення виходить в границі .

Зокрема, можна отримати середнє гармонійне елементів розкладу в ланцюговий дріб. Це число дорівнює

(послідовність A087491 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Хинчин А. Я. Metrische Kettenbruchprobleme // Compositio Mathematica. — 1935. — Bd. 1. — С. 361—382.MR1556899
  2. а б в Bailey, Borwein & Crandall, 1997
  3. а б в Weisstein, Eric W. Khinchin's constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  4. Хинчин, 1960
  5. McLeman, Cam. The Ten Coolest Numbers. Архів оригіналу за 2012-02-24. Процитовано 2016-01-18. 
  6. Александр Яковлевич Хинчин (к шестидесятилетию со дня рождения) // УМН. — 1955. — Т. 10, вип. 3(65). — С. 197–212.
  7. Finch, Steven R. Mathematical Constants. — Cambridge University Press, 2003. — P. 60. — ISBN 978-0521818056.
  8. а б Ryll-Nardzewski, Czesław. On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions) // Studia Mathematica. — 1951. — Vol. 12. — P. 74–79. MR13:757b.
  9. а б в Kac, Marc. Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. — Math. Association of America, and John Wiley & Sons, 1959. — ISBN 978-0883850121.
  10. Bailey, Borwein & Crandall, 1997. В цій статті використано дещо відмінне від стандартного визначення дзета-функції Гурвіца.
  11. Wieting T. A Khinchin Sequence // Proc. of the American Mathematical Society. — 2008. — Vol. 136, no. 3. — P. 815—824. — DOI:10.1090/S0002-9939-07-09202-7. MR2361853. См. послідовність A089618 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Література[ред. | ред. код]

  • Хинчин А. Я. Цепные дроби. — М. : Физматлит, 1960. — 112 с.
  • Bailey D. H., Borwein J. M., Crandall R. E. On the Khinchine constant // Mathematics of Computation. — 1997. — Vol. 66, № 217. — С. 417—431. — DOI:10.1090/s0025-5718-97-00800-4. MR1377659.

Посилання[ред. | ред. код]