Уніпотентна матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Уніпотентна матрицяквадратна матриця, що рівна сумі одиничної і нільпотентної матриць. Уніпотентні матриці є уніпотентними елементами у кільці квадратних матриць.

Важливість уніпотентних матриць значною мірою пояснюється наявністю розкладу Жордана — Шевальє для довільної невиродженої квадратної матриці над досконалим полем. Зважаючи на наявність цього розкладу і його узагальнень, уніпотентні матриці відіграють важливу роль у теорії представлення груп і теорії груп Лі і алгебричних груп.

Означення[ред. | ред. код]

Квадратна матриця над кільцем з одиницею називається уніпотентною, якщо матриця є нільпотентною, інакше кажучи, якщо

для деякого . Уніпотентні матриці є уніпотентними елементами у кільці .

Лінійний оператор на векторному просторі, матриця якого в довільному базисі є уніпотентною називається уніпотентним лінійним оператором.

Приклади[ред. | ред. код]

Простим прикладом уніпотентної матриці є матриця

,

для якої

.

Більш загальним прикладом є верхні трикутні матриці, для яких елементи на головній діагоналі усі рівні 1, тобто матриці виду

.

Усі такі матриці є уніпотентними, оскільки . Також усі матриці подібні до матриці є уніпотентними оскільки

для довільної невиродженої матриці . Звідси зокрема випливає, що якщо матриця лінійного оператора є уніпотентною в деякому базисі векторного простору, то вона є уніпотентною в довільному іншому базисі і означення уніпотентного лінійного оператора є коректним.

Навпаки, матриця над довільним полем є уніпотентною, тоді і тільки тоді коли вона є подібною верхній трикутній матриці з одиничною головною діагоналлю. До того ж для будь-якої множини уніпотентних матриць, що утворюють групу щодо операції множення матриць, матрицю , що визначає подібність з верхніми трикутними матрицями можна обрати одну для всіх матриць групи.

Властивості[ред. | ред. код]

Власні значення[ред. | ред. код]

Квадратна матриця над полем є уніпотентною, коли її характеристичний многочлен має вигляд

Іншими словами всі власні значення матриці рівні sind.

Розклад Жордана — Шевальє[ред. | ред. код]

Кожна невироджена матриця над досконалим полем може бути записана у виді розкладу Жордана — Шевальє:

,

де матриця є напівпростою (для алгебрично замкнутих полівдіагоналізовною), а — уніпотентною. Такий розклад завжди є єдиним.[1]

Степені, добутки і обернена матриця[ред. | ред. код]

Степінь уніпотентної матриці над довільним полем теж є уніпотентною матрицею. Її можна записати через степені нільпотентної матриці:

де — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності .

Зокрема звідси отримуємо, що над полем характеристики матриця є уніпотентною тоді і тільки тоді коли для всіх достатньо великих справедливою є рівність

Більш загально, добуток двох комутуючих уніпотентних матриць над полем є уніпотентною матрицею.

Для матриць над довільним кільцем з одиницею уніпотентна матриця завжди має обернену матрицю рівну:

де — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності . Обернена матриця теж є уніпотентною.

Логарифм і експонента[ред. | ред. код]

Логарифм уніпотентної матриці є нільпотентною матрицею, яка рівна:

де — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності .

Також для логарифму і експоненти матриці справедливою є рівність[2]

.

Навпаки, експонента нільпотентної матриці є уніпотентною матрицею і [2]

.

Зокрема, якщо є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності , то образом її експоненти буде матриця виду , де є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності . Навпаки логарифм уніпотентної матриці , де є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності є нільпотентною матрицею теж степеня . До того ж ці два відображення задають гомеоморфізм між просторами нільпотентних матриць зі степенем нільпотентності і уніпотентних матриць виду , де має степінь нільпотентності .

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
  • Dennis S. Bernstein: Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-69114-039-1.
  • Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, ISBN 978-3-940-34405-2.
  • Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (вид. 2nd), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713
  • Todd Rowland Unipotent(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen. Universitatsverlag Gottingen, 2007, S. 66.
  2. а б Dennis S. Bernstein: матриця Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press, 2009, S. 746.