Уніпотентна матриця

Уніпотентна матриця — квадратна матриця, що рівна сумі одиничної і нільпотентної матриць. Уніпотентні матриці є уніпотентними елементами у кільці квадратних матриць.

Важливість уніпотентних матриць значною мірою пояснюється наявністю розкладу Жордана — Шевальє для довільної невиродженої квадратної матриці над досконалим полем. Зважаючи на наявність цього розкладу і його узагальнень, уніпотентні матриці відіграють важливу роль у теорії представлення груп і теорії груп Лі і алгебричних груп.

Означення

Квадратна матриця $A\in R^{n\times n}$ над кільцем з одиницею $R$ називається уніпотентною, якщо матриця $A-I$ є нільпотентною, інакше кажучи, якщо

$(A-I)^{m}=0$

для деякого $m\in \mathbb {N}$. Уніпотентні матриці є уніпотентними елементами у кільці $R^{n\times n}$.

Лінійний оператор на векторному просторі, матриця якого в довільному базисі є уніпотентною називається уніпотентним лінійним оператором.

Приклади

Простим прикладом уніпотентної матриці є матриця

$A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$,

для якої

$(A-I)^{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$.

Більш загальним прикладом є верхні трикутні матриці, для яких елементи на головній діагоналі усі рівні 1, тобто матриці виду

$A={\begin{pmatrix}1&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-1,n}\\0&\cdots &0&1\end{pmatrix}}$.

Усі такі матриці є уніпотентними, оскільки $(A-I)^{n}=0$. Також усі матриці подібні до матриці $A$ є уніпотентними оскільки

$(S^{-1}AS-I)^{n}=S^{-1}(A-I)^{n}S=0$

для довільної невиродженої матриці $S\in R^{n\times n}$. Звідси зокрема випливає, що якщо матриця лінійного оператора є уніпотентною в деякому базисі векторного простору, то вона є уніпотентною в довільному іншому базисі і означення уніпотентного лінійного оператора є коректним.

Навпаки, матриця над довільним полем є уніпотентною, тоді і тільки тоді коли вона є подібною верхній трикутній матриці з одиничною головною діагоналлю. До того ж для будь-якої множини уніпотентних матриць, що утворюють групу щодо операції множення матриць, матрицю $S$, що визначає подібність з верхніми трикутними матрицями можна обрати одну для всіх матриць групи.

Властивості

Власні значення

Квадратна матриця $A\in K^{n\times n}$ над полем $K$ є уніпотентною, коли її характеристичний многочлен має вигляд

$\chi _{A}(\lambda )=(\lambda -1)^{n}$

Іншими словами всі власні значення матриці рівні $1$ sind.

Розклад Жордана — Шевальє

Кожна невироджена матриця $A$ над досконалим полем $K$ може бути записана у виді розкладу Жордана — Шевальє:

$A=D\cdot U=U\cdot D$,

де матриця $D$ є напівпростою (для алгебрично замкнутих полів — діагоналізовною), а $U$ — уніпотентною. Такий розклад завжди є єдиним.

Степені, добутки і обернена матриця

Степінь уніпотентної матриці $A^{k}$ над довільним полем теж є уніпотентною матрицею. Її можна записати через степені нільпотентної матриці:

$A^{k}=(I+N)^{k}=I+kN+{\frac {k(k-1)}{2}}N^{2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots (k-m+2)}{(m-1)!}}N^{m-1}$

де $N$ — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності $m$.

Зокрема звідси отримуємо, що над полем характеристики $p>0$ матриця $A$ є уніпотентною тоді і тільки тоді коли для всіх достатньо великих $s>0$ справедливою є рівність $A^{p^{s}}=I.$

Більш загально, добуток двох комутуючих уніпотентних матриць над полем є уніпотентною матрицею.

Для матриць над довільним кільцем з одиницею уніпотентна матриця $A=I+N$ завжди має обернену матрицю рівну:

$A^{-1}=I-N+N^{2}+\ldots +(-1)^{m-1}N^{m-1}$

де $N$ — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності $m$. Обернена матриця теж є уніпотентною.

Логарифм і експонента

Логарифм уніпотентної матриці є нільпотентною матрицею, яка рівна:

$\log A=\log(I+N)=N-{\frac {N^{2}}{2}}+{\frac {N^{3}}{3}}+\ldots +(-1)^{m-1}{\frac {N^{m-1}}{m-1}}$

де $N$ — нільпотентна матриця зі степенем нільпотентності $m$.

Також для логарифму і експоненти матриці справедливою є рівність

$e^{\log A}=A$.

Навпаки, експонента нільпотентної матриці $N$ є уніпотентною матрицею і

$\log e^{N}=N$.

Зокрема, якщо $N$ є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності $m$, то образом її експоненти буде матриця виду $I+N'$, де $N'$ є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності $m$. Навпаки логарифм уніпотентної матриці $I+N$, де $N$ є нільпотентною матрицею зі степенем нільпотентності $m$ є нільпотентною матрицею теж степеня $m$. До того ж ці два відображення задають гомеоморфізм між просторами нільпотентних матриць зі степенем нільпотентності $m$ і уніпотентних матриць виду $I+N$, де $N$ має степінь нільпотентності $m$.

Див. також

• Нільпотентна матриця
• Розклад Жордана — Шевальє

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Dennis S. Bernstein: Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas. Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-69114-039-1.
• Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, ISBN 978-3-940-34405-2.
• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (вид. 2nd), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713
• Todd Rowland Unipotent(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.