Ряд Гранді

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ряд Гранді — знакопереміжний ряд 1 − 1 + 1 − 1 + …, або:

Ряд названо на честь італійського католицького священика, філософа, математика й інженера Луїджі Гвідо Гранді, який в 1703 році розглянув його в книзі Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita.

Часткові суми ряду поперемінно рівні 1, 0, 1, 0, … , що означає, що ряд розходиться. Сума ряду за Чезаро дорівнює 1/2.

Основні міркування[ред. | ред. код]

Якщо вважати ряд телескопічним:

Проте, після певних перетворень також можна отримати результат 1, що викликає протиріччя:

Таким чином, різної розстановкою дужок у ряді Гранді, можна отримати суму і 0, і 1. (Варіації цієї ідеї мають назву "шахрайство Ейленберга-Мазура" і використовуються в теорії вузлів і алгебрі). Якщо вважати ряд Гранді розбіжною геометричною прогресією, то, використовуючи методи роботи з геометричними прогресіями, можна отримати третє значення, 1/2:

отже,

що дає

Проте, у попередніх міркуваннях не враховується визначення «сума ряду». Важливо вміти брати частині ряду в дужки, а також проводити арифметичні дії з рядами. Щодо цього ряду можна дійти двох висновків:

  • Ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ... не має суми.
  • ... але його сума повинна дорівнювати 1/2.

Сума ряду[ред. | ред. код]

У сучасній математиці сума ряду визначається як межа послідовності часткових сум, якщо вона існує. Послідовність часткових сум ряду Гранді: 1, 0, 1, 0, ... Очевидно, вона не збігається ні до якого числа (хоч і має дві граничні точки: 0 і 1). Таким чином, ряд Гранді розбігається.

Узагальнення суми[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

Посилання[ред. | ред. код]