Ряд Гранді

Ряд Гранді — знакопереміжний ряд 1 − 1 + 1 − 1 + …, або:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\!\,.$

Ряд названо на честь італійського католицького священика, філософа, математика й інженера Луїджі Гвідо Гранді, який в 1703 році розглянув його в книзі Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita.

Часткові суми ряду поперемінно рівні 1, 0, 1, 0, … , що означає, що ряд розходиться. Сума ряду за Чезаро дорівнює 1/2.

Основні міркування

Якщо вважати ряд телескопічним:

$(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots =0+0+0+\cdots =0\!\,.$

Проте, після певних перетворень також можна отримати результат 1, що викликає протиріччя:

$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots =1+0+0+0+\cdots =1\!\,.$

Таким чином, різної розстановкою дужок у ряді Гранді, можна отримати суму і 0, і 1. (Варіації цієї ідеї мають назву "шахрайство Ейленберга-Мазура" і використовуються в теорії вузлів і алгебрі). Якщо вважати ряд Гранді розбіжною геометричною прогресією, то, використовуючи методи роботи з геометричними прогресіями, можна отримати третє значення, 1/2:

$s=1-1+1-1+\cdots \!\,$

отже,

$1-s=1-(1-1+1-1+\cdots )=1-1+1-1+\cdots =s\!\,,$

що дає

$s={\frac {1}{2}}\!\,.$

Проте, у попередніх міркуваннях не враховується визначення «сума ряду». Важливо вміти брати частині ряду в дужки, а також проводити арифметичні дії з рядами. Щодо цього ряду можна дійти двох висновків:

• Ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ... не має суми.
• ... але його сума повинна дорівнювати 1/2.

Сума ряду

У сучасній математиці сума ряду визначається як межа послідовності часткових сум, якщо вона існує. Послідовність часткових сум ряду Гранді: 1, 0, 1, 0, ... Очевидно, вона не збігається ні до якого числа (хоч і має дві граничні точки: 0 і 1). Таким чином, ряд Гранді розбігається.

Посилання

• Davis, Harry F. (May 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
• Devlin, Keith (1994). Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. ISBN 0-7167-6022-3.
• Kline, Morris (November 1983). Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. 56 (5): 307—314. doi:10.2307/2690371.
• Knopp, Konrad (1990) [1922]. Theory and Application of Infinite Series. Dover. ISBN 0-486-66165-2.