Енергія Фермі

Енергія Фермі — енергія найвищого заповненого одночастинкового стану в системі ферміонів при температурі абсолютного нуля.

Необхідно відзначити, що термін «енергія Фермі» досить часто помилково вживається в значенні «хімічний потенціал». Значення хімічного потенціалу для системи ферміонів збігається з енергією Фермі тільки при температурі абсолютного нуля, проте відрізняються при вищих температурах.

Вступ

Основна концепція

При застосуванні квантової механіки до багаточастинкових систем популярна модель, в якій квантовий стан складної системи утворюється зі станів окремих частинок — одночастнинкове наближення (дивіться, наприклад, одноелектронне наближення). При цьому взаємодією між частинками нехтують, або вважають її врахованою при визначенні одночастинкових станів у наближенні середнього поля. У межах цієї моделі група часток або квазічасток, знана як ферміони (наприклад, електрони, протони та нейтрони є ферміони) підпорядковується принципу Паулі, який стверджує, що в одному квантовому стані можуть перебувати тільки ферміони з різним значенням спіну. Таких ферміонів 2S+1, де S — спінове квантове число, у випадку частинок зі спіном 1/2 кількість ферміонів в одному стані — 2.

Кожний одночастинковий стан позначається набором квантових чисел. У системі, що містить багато ферміонів (подібно до електронів у металах), кожний ферміон буде мати різний набір квантових чисел. Для визначення найнижчої енергії системи ферміонів, спершу необхідно згрупувати стани в набори з однаковою енергією та впорядкувати їх за зростанням енергії. Потім, розпочинаючи з порожньої системи, шляхом додавання часток, послідовно наповнюють незаповнені квантові стани з найменшими енергіями. Вичерпавши всі частки, отримують енергію найвищого заповненого стану і буде називатися енергією Фермі.

Це означає, що навіть якщо забрати всю можливу енергію з металу шляхом охолодження до абсолютного нуля температур (0 Кельвінів), електрони в металі все одно будуть рухатися далі; при чому найшвидші з них будуть мати швидкості, які відповідають кінетичній енергії, рівній енергії Фермі. Це і є швидкості Фермі. Енергія Фермі є однією з найважливіших концепцій у фізиці конденсованого стану. Вона використовується, наприклад, при опису металів, діелектриків та напівпровідників. Вона також відіграє ключову роль у фізиці надпровідників, у фізиці квантових рідин при температурах рідкого гелію (в обох випадках — нормальних та надплинних рідинах ³He). Вона також важлива в ядерній фізиці, в астрономії під час розгляду стабільності білих карликів в умовах гравітаційного колапсу.

Додаткові відомості

Енергія Фермі (E_F) системи невзаємодіючих ферміонів збільшує значення своєї енергії основного стану, коли навіть один електрон додається до системи. Вона може бути інтерпретована, як максимальна енергія індивідуального ферміона, що перебуває в основному стані. Хімічний потенціал при температурі абсолютного нуля рівний енергії Фермі.

Модельні системи

Приклад використання концепції до одновимірної квадратної ями

Одновимірна прямокутна яма нескінченної глибини — квантова модель для одновимірного потенціального ящика. Це одна із найпростіших задач квантової механіки, і тому її розв'язок для однієї частки відомий. Рівні енергії тут позначаються квантовими числами n, а енергії для ями з шириною $L$ дорівнюють:

$E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\,$.

Припустимо, що замість однієї частки в потенціальному ящику, ми маємо N часток, і ці частки є ферміонами зі спіном 1/2. Тоді тільки дві частки можуть мати однакову енергію, тобто дві частки можуть мати енергію $E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}$, дві частки можуть мати енергію $E_{2}=4E_{1}$ і так далі. Причина, що дві частки можуть мати однакову енергію, полягає в тому, що частки з напівцілим спіном можуть мати спін 1/2 (спін вгору) або спін −1/2 (спін вниз), що приводить до формування двох станів для кожного рівня енергії. Щодо повної енергії системи, то вона є найнижчою (основний стан) при такій конфігурації, коли всі енергетичні рівні аж до n=N/2 є заповнені, а всі вищі рівні енергії — порожні. Тому енергія Фермі є:

$E_{f}=E_{N/2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}(N/2)^{2}\,$.

Таким чином, значення енергії Фермі залежить від кількості частинок у системі. Цей висновок справедливий і для інших систем.

Тривимірний випадок

У тривимірному ізотропний випадку заповнені стани утворюють в оберненому просторі так звану сферу Фермі.

Розглянемо тривимірний кубічний ящик, котрий має ребро довжини L (див. Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі). Цей підхід є доброю апроксимацією для опису електронів у металах, коли закон дисперсії електронних станів у валентній зоні металів близький до параболічного. Стани в цьому випадку позначаються квантовими числами n_x, n_y, and n_z. Енергія однієї частки тут буде:

$E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,$

де n_x, n_y, n_z — додатні цілі числа. Тут ми маємо вироджені стани із однаковою енергією $E_{100}=E_{010}=E_{001}$. Тепер можна заповнити цей ящик невзаємодіючими ферміонами (N штук) зі спіном 1/2. Щоб обчислити енергію Фермі, припустимо що N дуже велике.

Якщо ввести вектор ${\vec {n}}=\{n_{x},n_{y},n_{z}\}$, тоді кожний квантовий стан відповідає певній точці в 'n-просторі' з енергією Фермі:

$E_{\vec {n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|{\vec {n}}|^{2}\,$

Число станів з енергією меншою ніж E_f, дорівнює числу станів, котрі лежать всередині сфери радіуса $|{\vec {n}}_{f}|$ в області n-простору, де n_x, n_y, n_z є додатні цілі числа. В основному стані загальна кількість таких чисел із врахуванням проекцій спіна дорівнює числу ферміонів у системі.

$N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{f}^{3}\,$

Вільні ферміони, що заповнюють найнижчі енергетичні стани, формують сферу в просторі імпульсів. Поверхня цієї сфери і є поверхня Фермі.

тут «двійка» враховує наявність двох спінових станів; коефіцієнт 1/8 враховує те, що тільки 1/8 частина сфери лежить в області, де всі n додатні.

Знаходимо:

$n_{f}=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}$

тому енергія Фермі буде:

$E_{f}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{f}^{2}$

$={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}$,

яке можна переписати у вигляді співвідношення між енергією Фермі та числом часток на одиницю об"єму (при заміні L² на V^2/3):

$E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}\,$

Повна енергія сфери Фермі при наявності $N_{0}$ ферміонів буде:

$E_{t}={\int _{0}}^{N_{0}}E_{f}(N)dN={3 \over 5}N_{0}E_{f}$

$E_{t}={\int _{0}}^{N_{0}}E_{f}(N)dN={\int _{0}}^{N_{0}}{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{\frac {2}{3}}dN$

$={\frac {3^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {4}{3}}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}{\int _{0}}^{N_{0}}N^{\frac {2}{3}}dN={\frac {3^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {4}{3}}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3}{5}}N_{0}^{\frac {5}{3}}\right)={\frac {3^{\frac {5}{3}}\pi ^{\frac {4}{3}}\hbar ^{2}}{10mL^{2}}}N_{0}^{\frac {5}{3}}$

Повна енергія Фермі:

$E_{t}={\frac {3^{\frac {5}{3}}\pi ^{\frac {4}{3}}\hbar ^{2}}{10mL^{2}}}N_{0}^{\frac {5}{3}}$

Інтегрування шляхом заміни змінних дає:

$E_{t}={\frac {3}{5}}N_{0}E_{f}={\frac {3}{5}}N_{0}\left[{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N_{0}}{\pi }}\right)^{2/3}\right]={\frac {3^{\frac {5}{3}}\pi ^{\frac {4}{3}}\hbar ^{2}}{10mL^{2}}}N_{0}^{\frac {5}{3}}$

$E_{t}={\frac {3}{5}}N_{0}E_{f}$

Перехід від $L$ до $V$ дає:

$L^{2}=V^{\frac {2}{3}}$

$E_{t}={\frac {3^{\frac {5}{3}}\pi ^{\frac {4}{3}}\hbar ^{2}N_{0}^{\frac {5}{3}}}{10mV_{0}^{\frac {2}{3}}}}$

Похідні терміни

Рівень Фермі є найвищий рівень заповнений рівень енергії при абсолютному нулі, так що всі нижні рівні енергії — зайняті електронами, а всі верхні рівні енергії порожні. Оскільки ферміони не можуть співіснувати при ідентичних енергіях (див. Принцип Паулі), при абсолютному нулі температур, тому електрони упаковуються на станах із найнижчою енергією і формують т.з. «море Фермі» електронних енергетичних станів. [1]

У випадку параболічного закону дисперсії у цьому стані (при 0 K), середня енергія електрона задається виразом:

$E_{av}={\frac {3}{5}}E_{f}$

де $E_{f}$ — енергія Фермі.

Імпульс Фермі — імпульс ферміона на поверхні Фермі. Імпульс Фермі задається виразом:

$p_{F}={\sqrt {2m_{e}E_{f}}}$

де $m_{e}^{*}$ — ефективна маса електрона.

Швидкість Фермі — це швидкість ферміонів на поверхні Фермі. Вона визначається як:

$V_{f}={\sqrt {\frac {2E_{f}}{m_{e}^{*}}}}$,

Поняття імпульсу Фермі і швидкості Фермі використовується у випадку дисперсійних співвідношень між енергією та імпульсом, що не залежать від напряму. В загальнішому випадку ці величини визначені неоднозначно, тому необхідно обмежитися використанням поняття «енергії Фермі».

Можна також ввести поняття температури Фермі, що враховує квантові ефекти при охолодженні. Температура Фермі визначається як:

$T_{f}={\frac {E_{f}}{k}}$

де k — константа Больцмана.

Тверде тіло

Енергія Фермі твердотільних систем залежить від структури одноелектронних енергетичних рівнів у цих системах, у випадку кристалів — від зонної структури. У випадку напівпровідників та діелектриків в основному стані цих кристалів валентна зона повністю заповнена, тому енергія Фермі збігається з верхом валентної зони. В напівпровідниках із акцепторами енергія Фермі збігається з акцепторним рівнем. Для багатьох металів, валентна зона яких заповнена не повністю, справедлива описана вище модель сфери Фермі. Для інших металів, і особливо напівметалів розрахунок енергії Фермі вимагає точного знання зонної структури. У цьому випадку поверхня Фермі дуже далека від сферичної.

Білі карлики

Зорі, знані як білі карлики, мають масу, співмірну з масою нашого Сонця, проте їхній радіус майже в 100 разів менше. Висока густина означає, що електрони вже не є зв'язані з одиничними ядрами, а формують вироджений електронний газ. Густина електронів у білих карликах складає величину порядка 10³⁶ м⁻³. А це означає, що енергія Фермі тут буде:

$E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(10^{36})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \,$ еВ.

Ядра

Іншим типовим прикладом використання концепції є частки в ядрі атома. Радіус ядра можна грубо оцінити як:

$R=\left(1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right)\times A^{1/3}$

де A — число нуклонів.

Тому густина нуклонів в ядрі буде:

$n={\frac {A}{{\begin{matrix}{\frac {4}{3}}\end{matrix}}\pi R^{3}}}\approx 1.2\times 10^{44}\$ м⁻³

Оскільки енергія Фермі прикладається тільки для нуклонів одного типу, тому її необхідно зменшити вдвічі. Це тому, що присутність нейтронів не впливає на енергію Фермі протонів в ядрі, і навпаки.

Тому енергія Фермі для ядра наближено:

$E_{f}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{p}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(6\times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx \$ 30 × 10⁶ еВ = 30 МеВ

Радіус ядра дозволяє відхилення від вказаного значення, тому типові значення енергії Фермі — близько 38 МеВ.

Заповнені і незаповнені орбіталі

В рамках квантової механіки ферміони — частки з напівцілим спіном, як правило 1/2, такі як електрони, що підкоряються принципу Паулі, тому на кожному енергетичному рівні може знаходитися тільки два електрони. Очевидно, що ферміони підкоряються статистиці Фермі — Дірака. Основний стан невзаємодіючих ферміонів системи формується шляхом поступового заповнення порожніх енергетичних рівнів аж до рівня Фермі. Коли найвищий енергетичний рівень буде заповнений (рівень Фермі), тоді енергія Фермі є енергією найвищої заповненої молекулярної орбіталі (НЗМО). У випадку провідних матеріалів це значення збігається із значенням енергії найнижчих незаповнених орбіталей (ННМО). Проте структура енергетичних рівнів більшості матеріалів (діелектриків і напівпровідників) така, що між ННМО та НЗМО існує проміжок енергії, заборонена зона, в якому нема енергетичних станів. Цей проміжок може мати ширину до 5-6 еВ.

Вільний електронний газ

У вільному електронному газі, квантовомеханічній версії ідеального газу, квантові стани можуть бути позначені за їхніми імпульсами. Аналогічно, для періодичної системи, такої як електронний газ у періодичній кристалічній ґратці металу, можна ввести поняття квазі-імпульс (див. хвилі Блоха). В будь-якому випадку, енергія Фермі розміщується у просторі імпульсів на поверхні, яку називають поверхнею Фермі. Для вільного електронного газу поверхня Фермі має вигляд сфери; для періодичної системи, вона має загалом складну форму (див. зони Брілюена). Об'єм оберненого простору під поверхнею Фермі визначає число електронів у системі, а топологія поверхні Фермі визначає транспортні властивості металів, такі як електрична провідність. Дисципліна, що вивчає поверхню Фермі часто називають ферміологією. Поверхні Фермі більшості металів добре досліджені, як на теоретичному, так і на практичному рівнях.

При параболічному законі дисперсії хімічний потенціал вільного газу електронів пов'язаний з енергією Фермі співвідношенням:

$\mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\cdots \right]$

де E_F — енергія Фермі, k — константа Больцмана.а T — температура. Звідси випливає, що хімічний потенціал приблизно дорівнює енргії Фермі при температурах, значно менших від характеристичної температури Фермі E_F/k. Характеристична температура є величина порядка 10⁵ K для металів, тому при кімнатних температурах (300 K) енергія Фермі та хімічний потенціал приблизно однакові. Це важливо, оскільки саме хімічний потенціал, а не енергія Фермі, використовується в статистиці Фермі-Дірака.

Різниця між значенням хімічного потенціалу і енергією Фермі визначає ступінь виродження електронного газу. У випадку, коли ці значення близькі, наприклад, для металів, електронний газ вироджений, тобто суттєво квантовий, у випадку, коли вони далекі ($|\mu -E_{F}|>>kT$), наприклад, у власних і слаболегованих напівпровідниках, електронний газ невироджений, тобто близький за своїми властивостями до класичного.

Див. також

• Рівень Фермі
• Фермі-газ
• Статистика Фермі — Дірака
• Фізика твердого тіла

Література

• Kroemer, Herbert; Kittel, Charles (1980). Thermal Physics (2nd ed.). W. H. Freeman Company. ISBN 0-7167-1088-9.
• Table of fermi energies, velocities, and temperatures for various elements.
• a discussion of fermi gases and fermi temperatures.