Заряд (теорія міри)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Зарядом (або знакозмінною мірою) у математиці, зокрема теорії міри називається узагальнення поняття міри множини, що може набувати будь-яких дійсних значень, а не лише невід'ємних чисел.

Означення

[ред. | ред. код]

Загалом у літературі існують різні означення терміну заряд. Одним із поширених і досить загальних є таке:

зарядом називається скінченно адитивна функція множин, визначена на деякій алгебрі множин із значеннями на розширеній дійсній прямій Іншими словами для множини і заданої на ній алгебри підмножин функція називається зарядок якщо:

  • Якщо і , то

Оскільки вирази на зразок є невизначеними то заряд для якого а є неприпустимим. Звідси якщо то і . Аналогічно якщо то і . Відповідно заряд може набувати щонайбільше одного із значень Оскільки для заряду функція теж є зарядом основні властивості якого є аналогічним до то у визначенні заряду іноді конкретизують, що він може приймати лише значення тобто областю значень є множина

Дійсним зарядом називається заряд значеннями якого є лише дійсні числа (тобто заряд жодної множини не є безмежним). Іноді термін заряд використовується лише для дійсних зарядів. Також важливим є поняття обмеженого заряду, тобто заряду для якого Додатним зарядом називається заряд для якого для всіх

Дуже часто в означенні заряду вимагається властивість σ-адитивності.

Σ-адитивним зарядом називається заряд (у найзагальнішому означенні) для якого додатково виконується умова:

для будь-якої послідовності множин , для якої і для . Найчастіше у цьому випадку заряд розглядається на σ-алгебрі.

Приклади

[ред. | ред. код]
  • Нехай і є стандартними мірами на і хоча б одна із цих мір є скінченною. Тоді є σ-адитивним зарядом на . Якщо обидві міри є скінченними, то заряд є обмеженим. Якщо для і вимагати лише скінченну адитивність, то буде (скінченно адитивним) зарядом.
  • Нехай — множина натуральних чисел і є алгеброю елементами якої є множини, які або самі є скінченними або мають скінченні доповнення. Тоді функція задана як кількості елементів A, якщо A є скінченною і -(кількості елементів ), якщо є скінченною (зокрема ) є дійсним необмеженим зарядом.
  • Нехай і є алгеброю породженою напівалгеброю інтервалів виду для Елементами є скінченні диз'юнктні об'єднання інтервалів вказаного виду. Нехай — довільна дійснозначна функція. Тоді якщо визначити і для всіх множин алгебри продовжити за адитивністю, то є зарядом.
Вибираючи конкретні можна одержати багато цікавих прикладів і контрприкладів зарядів. Нехай, наприклад, якщо є ірраціональним числом або і для раціональних чисел записаних через нескоротний дріб як Тоді відповідний заряд є дійсним але не обмеженим ні зверху ні знизу. Навіть більше для кожної множини існують підмножини із зарядами більшими за будь-яке додатне число і підмножини із зарядами меншими за будь-яке від'ємне число.
Також у цьому випадку є скінченно адитивном (за побудовою) але не σ-адитивним. Дійсно і якщо є строго зростаючою послідовністю додатних ірраціональних чисел для яких і то але
Тоді на (X, Σ) можна ввести σ-адитивний заряд для якого
для всіх A із Σ. Цей заряд є прикладом дійсного σ-адитивного заряду.
  • Подібний приклад σ-адитивного заряду, що набуває значень +∞ можна одержати якщо послабити вимоги до функції f і замість абсолютної інтегровності вимагати виконання умови:
де f(x) = max(−f(x), 0).

Властивості

[ред. | ред. код]

Загальні вдастивості

[ред. | ред. код]

Всюди нижче множини належать деякій алгебрі підмножин множини X і є зарядом на .

  • Для довільної скінченної кількості множин для яких для виконується рівність (скінченна адитивність):
  • Якщо і тоді
  • Якщо , то з того, що випливає, що і ; аналогічно, якщо то і
  • Більш загально для скінченної кількості множин  :
  • Заряд є σ-адитивним тоді і тільки тоді коли для нього виконується умова неперервності знизу: для довільної неспадної послідовності (тобто при ) для якої виконується рівність:
  • Якщо є дійсним зарядом, то він є σ-адитивним тоді і тільки тоді коли виконується якась із двох еквівалентних умов:
    1. Для довільної незростаючої послідовності (тобто при ) для якої виконується рівність:
    2. Для довільної незростаючої послідовності для якої виконується рівність
  • Якщо і є зарядами, а дійсними числами, то теж є зарядом. Тому на просторі всіх зарядів на можна ввести структуру дійсного векторного простору. Дійсні, обмежені, обмежені зверху чи знизу, σ-адитивні заряди утворюють векторні підпростори цього простору але множина додатних зарядів і множина мір не є векторними підпросторами. На множині зарядів на також можна ввести відношення часткового порядку вважаючи, що якщо для всіх . Це відношення узгоджується із векторною структурою простору: якщо то і для будь-якого заряду і додатного числа a. Іншими словами заряди на утворюють впорядкований векторний простір. Це ж твердження є істинним і для його підпросторів.

Властивості обмежених зарядів

[ред. | ред. код]

Нехай позначає множину обмежених зарядів на і — множину σ-адитивних обмежених зарядів на . Також для всюди нижче використовуються позначення

називаються відповідно додатною, від'ємною і повною варіаціями заряду

  • є додатними обмеженими зарядами для яких і (розклад Жордана).
  • Еквівалентно для додатної і від'ємної варіацій:
  • Для повної варіації:
    де у останній рівності супремум береться по всіх розбиттях множини як диз'юнктного об'єднання скінченної кількості множин
  • Функції і є обмеженими зарядами і є відповідно інфімумом і супремумом для множини у введеному вище відношенні часткового порядку. Таким чином із введеними вище структурою векторного простору і відношенням часткового порядку є векторною ґраткою (простором Ріса). Ця ґратка є обмежено повною, тобто кожна обмежена зверху множина зарядів має супремум, а обмежена знизу — інфімум.
  • На просторі можна ввести норму: Із цією нормою є повним нормованим простором.
  • Якщо то також усі заряди і з теж належать Таким чином є векторною підґраткою Більше того ця підґратка є нормальною тобто, якщо деяка множина зарядів із має супремум у то він також є елементом і якщо для виконується нерівність і також то і Окрім того є замкнутим підпростором згідно відповідної норми. Відповідно теж є обмежено повною ґраткою і повним нормованим простором.

Теореми про розклад

[ред. | ред. код]

Для довільних зарядів які або одночасно не приймають значення або одночасно не приймають значення можна аналогічно ввести і . Також для довільного заряду можна позначити і заряди одержані за означенням як і Тоді і є додатними зарядами.

Теорема про розклад Жордана у загальному випадку стверджує, що якщо не приймає значення то якщо не приймає значення то і якщо і тільки якщо є обмеженим знизу або обмеженим зверху. Зокрема розклад Жордана існує для довільних обмежених зарядів і σ-адитивних зарядів на σ-алгебрі. В останньому випадку і будуть мірами.

Також розклад Жордана існує тоді і лише тоді, коли і якщо і для додатних зарядів то

Теорема Гана про розклад стверджує, що якщо є обмеженим знизу або обмеженим зверху то для довільного додатного числа існує така множина що для довільних якщо то і якщо то

Якщо додатково є σ-адитивним зарядом на σ-алгебрі то існує така множина що для довільних якщо то і якщо то До того ж у цьому випадку якщо є двома такими множинами то для симетричних різниць і Розклад Жордана у цьому випадку можна також отримати як і

Заряд на називається абсолютно неперервним щодо заряду на , якщо для кожного існує , таке, що для кожної множини , якщо то Із цієї властивості випливає властивість слабкої абсолютної неперервності: називається слабко абсолютно неперервним щодо заряду , якщо для кожної множини , із того, що випливає, що У випадку якщо є додатним зарядом, то ці два поняття є еквівалентними. Нехай . Тоді заряд єдиним чином можна подати у вигляді суми , де є абсолютно неперервним щодо і є сингулярною із . Такий розклад міри прийнято назвати розкладом Лебега.

Додатний заряд називається чисто скінченно адитивним, якщо для будь-якої додатної зліченно-адитивної міри з випливає, що . Довільний заряд називається чисто скінченно адитивним, якщо такими є заряди і .

Будь-який заряд єдиним чином записується у вигляді суми , де — зліченно-адитивний заряд, а — чисто скінченно адитивний заряд. Такий розклад також називається розкладом Йосиди — Г'юїта.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Bartle, Robert G. (1966), The Elements of Integration, New York: John Wiley and Sons, Zbl 0146.28201
  • Bhaskara Rao, K. P. S.; Bhaskara Rao, M. (1983), Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures, Pure and Applied Mathematics, № 109, London: Academic Press, ISBN 0-12-095780-9, Zbl 0516.28001, архів оригіналу за 28 січня 2022, процитовано 28 січня 2022
  • Cohn, Donald L. (1997), Measure theory, Boston: Birkhäuser Verlag, ISBN 3-7643-3003-1, Zbl 0436.28001, архів оригіналу за 28 січня 2022, процитовано 28 січня 2022