У математиці, зокрема теорії міри, комплексна міра узагальнює поняття міри, дозволяючи їй набувати комплексних значень. Іншими словами, допускаються множини, розмір яких (довжина, площа, об’єм) є комплексними числами.
Формально комплексна міра
на вимірному просторі
є комплекснозначною функцією
![{\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef91adbc178d610c8cdb1eab5b723963b8153e7a)
яка є σ-адитивною. Іншими словами, для будь-якої послідовності
елементи якої попарно не перетинаються і належать
:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\in \mathbb {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdc042ecccd0e79193e4c92e95a827409bf7b4e0)
З того що
для будь-якої перестановки
, випливає, що
збігається безумовно (а тому і абсолютно).
Для комплексної міри μ визначається її варіація або абсолютне значення, |μ| за формулою
![{\displaystyle |\mu |(A)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }|\mu (A_{n})|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea5f1a997d354db01e3864ccb05e45d9f2e755e9)
де A належить Σ і супремум береться по всіх послідовностях множин (An)n, що належать Σ, попарно не перетинаються і їх об'єднання є рівним A (такі послідовності називаються розбиттями множини A). Еквівалентно можна розглядати лише скінченні розбиття множини A на вимірні підмножини.
- Варіація |μ| є мірою.
- Нехай
і послідовність
є розбиттям множини
З означення варіації комплексної міри для кожного дійсного числа
існує розбиття
множини
для якого
Разом усі множини
утворюють розбиття
і тому згідно означення варіації комплексної міри
Оскільки числа
є довільними із вказаною властивістю, то ![{\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }|\mu |(A_{i})\leqslant |\mu |(A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6dd6fda0060a83d7d7719fceb9e21a71acf3ba3)
- Навпаки, якщо
є довільним розбиттям множини
то
є розбиттям множини
і тому:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|\mu (B_{i})|=\sum _{i=1}^{\infty }\left|\sum _{j=1}^{\infty }\mu (B_{i}\cap A_{j})\right|\leqslant \sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }\left|\mu (B_{i}\cap A_{j})\right|\leqslant \sum _{j=1}^{\infty }|\mu |(A_{j}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca66c47c1a7d2ac16b22820489e6bc77d926920e)
- Оскільки ці нерівності виконуються для всіх
то також ![{\displaystyle |\mu |(A)\leqslant \sum _{j=1}^{\infty }|\mu |(A_{j}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fe9adaeafcbb900e2472e73942e725a84d4302)
- Таким чином із двох протилежних нерівностей одержується рівність
Відповідно |μ| є мірою.
- |μ| є скінченною мірою, тобто
- Достатньо довести, що для
існують множини
із пустим перетином для яких
і
Дійсно у цьому випадку для
можна вибрати множини
із такими властивостями, тоді для
аналогічно множини
, для
відповідні множини
і т.д. Множини
тоді попарно не перетинаються і
. Але тоді ряд елементами, якого є
не є збіжним і відповідно умова σ-адитивності не може виконуватися.
- Для доведення цієї умови спершу із того, що
і означення варіації комплексної міри випливає, що для довільного дійсного числа
існує розбиття
множини
для якого
При цьому можна вибрати підмножину
множини
для якої
Справді якщо позначити
, то для одного із квадрантів
, сума абсолютних значень тих
, що належать цьому квадрату є не меншою
. Якщо припустити, що це квадрант для якого
то для чисел із цього квадранту
. Позначивши
множину елементів із цього квадранта тоді:
![{\textstyle |\sum _{j\in S}\mu (E_{j})|\geqslant \sum _{j\in S}\Re (\mu (E_{j}))\geqslant {1 \over {\sqrt {2}}}\sum _{j\in S}|\mu (E_{j})|\geqslant {w \over 4{\sqrt {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512525be4ed22b2fca630199bf2557460a40d47a)
- Якщо взяти
то
Якщо позначити
і
, то із вказаних властивостей
і також
Також із адитивності варіацій комплексної міри випливає, що принаймні одна із величин
має бути нескінченною. Помінявши позначення, якщо потрібно одержується необхідні множини ![{\displaystyle A,\ B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ab44e2c29d7703eafd845fe5aa1d43f3195c86)
Можна визначити інтеграл комплексної вимірної функції щодо комплексної міри так само, як інтеграл Лебега для дійснозначної вимірної функції щодо невід’ємної міри шляхом апроксимації вимірної функції за допомогою простих функцій. Як і у випадку звичайного інтегрування, цей більш загальний інтеграл може не існувати, або його значення може бути нескінченним (комплексна нескінченність).
Інший підхід полягає в тому, щоб не розробляти теорію інтегрування з нуля, а використовувати вже доступне поняття інтеграла від дійсної функції щодо невід’ємної міри. Для цього використовується той факт, що дійсна та уявна частини μ1 і μ2 комплексної міри μ є скінченнозначними σ-адитивними зарядами. До цих зарядів можна застосувати розклад Жордана і записати
![{\displaystyle \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebf9a4894bc3e65e5d79b57fdbd2e0bc14295f8a)
і
![{\displaystyle \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c108a02a78675cc9c425b76ed75f8c6b832c58ba)
де μ1+, μ1−, μ2+, μ2− є скінченнозначними невід’ємними мірами. Тоді для вимірної дійснозначної функції f, можна визначити
![{\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c997b91e631b2d61612f18a7342f5f5ab23db631)
якщо вираз у правій частині має зміст, тобто всі чотири інтеграли існують і при їх додаванні не зустрічаються невизначеності виду ∞−∞.
Для комплекснозначної вимірної функції, можна інтегрувати окремо її дійсні та уявні компоненти окремо, як показано вище і тоді
![{\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\int _{X}\!\Re (f)\,d\mu +i\int _{X}\!\Im (f)\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f4233904e1a6c4004d0f88ed2e7a3a11055c865)
Полярна форма інтегралу за комплексною мірою
[ред. | ред. код]
Подібно до того, як комплексне число може бути представлене в полярній формі, для комплексної міри можна дати «полярний розклад»: а саме, існує вимірна дійснозначна функція θ для якої
![{\displaystyle d\mu =e^{i\theta }d|\mu |,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1095ca9f5ad444dda7456e5d773df04ece59c9e8)
що означає, що
![{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fe^{i\theta }\,d|\mu |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e71a76deb1428cf779404863f6e745bc5fa215e3)
для будь-якої абсолютно інтегрованої вимірної функції f, тобто функції f, що задовольняє умову
![{\displaystyle \int _{X}|f|\,d|\mu |<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/319a1f4482a6e86e0fdd70fe9c1ea7a228e25d3e)
Ці твердження можна довести за допомогою теореми Радона — Нікодима.
Сума двох комплексних мір є комплексною мірою, як і добуток комплексної міри на комплексне число. Тобто множина всіх комплексних мір на просторі мір (X, Σ) утворює векторний простір над комплексними числами. Крім того, загальна варіація
рівна за означенням
![{\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a2ef08f1f063a7be1dbb45b3cc79076dec3d88)
є нормою, відносно якої простір комплексних мір є простором Банаха.