Кільце нормування

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У комутативній алгебрі кільцем нормування називається область цілісності, що задовольняє деяким додатковим вимогам. Кільця нормування є пов'язаними з поняттям нормування на полі. Мають широке застосування в алгебраїчній теорії чисел і алгебраїчній геометрії.

Визначення

[ред. | ред. код]

Нехай R є областю цілісності з полем часток K. Тоді R називається кільцем нормування, якщо воно задовольняє будь-яку із еквівалентних умов:

  1. Для довільного ненульового елемента , хоча б один з елементів x і x-1 належить R.
  2. Множина ідеалів R є цілком впорядкованою відносно включення підмножин.
  3. Множина головних ідеалів R є цілком впорядкованою відносно включення підмножин.
  4. Існує цілком впорядкована абелева група Γ (що називається групою нормування) і сюр'єктивний гомоморфізм груп (що називається нормуванням поля) ν:K× → Γ для якого R = { x в K× : ν(x) ≥ 0 } ∪ {0}.

Кільця нормування можна визначити ще одним способом. Локальне кільце домінує над якщо і . Відношення домінування є відношенням часткового порядку на множині підкілець поля K. Максимальні елементи цієї множини і тільки вони є кільцями нормування поля K.

Будь-яке кільце нормування R задає нормування на своєму полі часток K. При використанні першого означення нормування на полі часток можна задати так: нехай . Позначимо природне вкладення K× в G як . Для елементів G визначимо відношення порядку: Тоді R стає лінійно впорядкованою групою. Додавши до неї нескінченний елемент, що більший від усіх інших елементів і довизначивши отримаємо, що ν і є необхідним нормуванням.

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Кільце нормування R є локальним кільцем.
  • Якщо R — кільце нормування, a — кільце з тим же полем часток, що і R, то A також є кільцем нормування і A є локалізацією кільця R за деяким простим ідеалом.
  • Кільце нормування R є цілозамкнутим. Більш того, для довільного цілісного кільця A його ціле замикання дорівнює перетину всіх кілець нормування в його полі часток, що містять R.
  • Кільце нормування є нетерівським тоді і тільки тоді, коли нормування є дискретним, тобто кільце є кільцем дискретного нормування.
  • Якщо P є простим ідеалом кільця нормування R то і RP (локалізація за ідеалом P) і фактор-кільце R/P є кільцями нормування.
  • Нехай R є підкільцем поля K і є гомоморфізмом кільця R в алгебраїчно замкнуте поле L. Тоді існує максимальне продовження гомоморфізму де підкільце , A є підкільцем поля K і продовження гомоморфізму на ще більші підкільця є неможливим. Для кожного такого максимального продовження кільце A є кільцем нормування.
  • Ціле замикання області цілісності у своєму полі часток є рівне перетину всіх кілець нормування, що містять цю область цілісності.

Приклади

[ред. | ред. код]
є кільцем нормування для поля K(x).
  • Нехай K — поле, а K[[X]] кільце формальних степеневих рядів, тобто виразів виду Тоді K[[X]] є кільцем нормування поля формальних рядів Лорана, тобто виразів виду
  • Для поля раціональних чисел і довільного простого числа p, кільце нормування R можна визначити в такий спосіб:

Побудова кілець нормування для даної групи нормування

[ред. | ред. код]

Для даної цілком впорядкованої абелевої групи Γ і поля k, позначимо K = k((Γ)) кільце формальних степеневих рядів із степенями із групи Γ. Іншими словами елементами K є функції із Γ у k такі, що елементи Γ де значення функції не рівне нулю утворюють цілком впорядковану множину. Додавання функцій є поточковим, а множення є за конволюцією, тобто відбувається аналогічно до множення степеневих рядів:

із правилом

Нормування ν(f) для елемента f у K за означення є рівним найменшому елементу g групи Γ для якого f(g) не рівне нулю. Такий елемент існує зважаючи на умови впорядкованості. Множина f для яких ν(f)≥0 (разом із 0 поля K), утворюють підкільце D поля K яке є кільцем нормування щодо нормування ν і з групою нормування Γ.

Ідеали кілець нормування

[ред. | ред. код]

Множина ідеалів кільця нормування є лінійно впорядкованою щодо включення, будь-який скінченнопорождений ідеал є головним, тобто кільце нормування є кільцем Безу.

Більш повно опис будови ідеалів кільця нормування можна дати в термінах групи значень нормування. Підмножина M лінійно впорядкованої множини називається мажорною (або мажором), якщо з співвідношень і випливає, що

Нехай R — кільце нормування v поля K з групою значень Γ, а Γ+ — піднапівгрупа додатних елементів у Γ і M — мажорна множина в Γ+. Відображення є бієктивним (взаємно однозначним) відображенням множини мажорних підмножин з Γ+ на множину ідеалів кільця R. При цьому головним ідеалам відповідають мажори, що мають мінімальні елементи.

Простим ідеалам теж відповідають мажори спеціального виду, а саме: мажори виду , де H+ — додатна частина деякої опуклої підгрупи H групи Γ, тобто підгрупи для якої, якщо то також для всіх таких, що також Таким чином, встановлюється взаємно однозначна відповідність між простими ідеалами кільця R і опуклими підгрупами групи значень G.

Нехай p — простий ідеал, що відповідає опуклій підгрупі H, тоді композиція відображень буде нормуванням поля K з кільцем нормування і максимальним ідеалом Крім того, на поле індукується нормування зі значеннями в групі H і кільцем нормування . Тим самим нормування розщеплюється на більш прості.

Нехай R — кільце нормування, тоді простий спектр R без нуля () є лінійно впорядкованою множиною і її тип називається висотою, або рангом, відповідного нормування Якщо є скінченною множиною, то висота нормування є числом елементів в , і це число збігається з числом опуклих підгруп групи G, що не рівні самій групі G.

Нормування скінченного рангу зводяться до нормування рангу 1. Останні характеризуються тим, що їх група значень — архімедова група, тобто ізоморфна деякій підгрупі адитивної групи дійсних чисел. В цьому випадку відображення є ультраметричним абсолютним значенням на полі K.

Див. також

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Valuation, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Robert B. Ash A Course In Commutative Algebra Chapter 3 Valuation Rings [Архівовано 7 грудня 2016 у Wayback Machine.]

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
  • Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, т. 4, CRC Press, ISBN 9780412361906
  • Goldschmidt, David M. (2003), Algebraic Functions and Projective Curves, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 0 387-95432-5
  • Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.