Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Матриця повороту — матриця переходу, яка зв'язує між собою координати векторів векторного простору при зміні системи координат.
В новій системі координат вектор
переходить у вектор
Між новими та старими координатами існує лінійний зв'язок
![{\displaystyle \ x^{\prime }=R\cdot x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11020632ba7af9be5a81c3021373cf5e9bac900)
Цей зв'язок визначається матрицею повороту
- Оскільки поворот — це перетворення координат, при якому зберігаються довжини векторів, то
![{\displaystyle (x^{\prime })^{T}\cdot x^{\prime }=x^{T}R^{T}\cdot Rx=x^{T}\cdot x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cee143d9fc3fa0b14301d2f7d9f6b7f3737479a)
- отже, матриця повороту є ортогональною матрицею:
(обернена матриця дорівнює транспонованій матриці).
- Оскільки поворот зберігає орієнтацію, то
(детермінант матриці повороту дорівнює одиниці).
- Добутком матриць повороту є матриця повороту:
![{\displaystyle (R_{1}R_{2})^{T}(R_{1}R_{2})=R_{2}^{T}(R_{1}^{T}R_{1})R_{2}=I,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b48eaac7466ac03c8b62682f863a93f3cb1a14b5)
![{\displaystyle \ \det(R_{1}R_{2})=(\det R_{1})(\det R_{2})=+1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e6a3168ce6a830c88d33298cb36e458c64f615)
Три вищеперераховані властивості означають, що матриці повороту утворюють дійсну спеціальну ортогональну групу (SO(n)).
- Корисною є властивість взаємодії з векторним добутком:
![{\displaystyle R({\vec {a}}\times {\vec {b}})=R{\vec {a}}\times R{\vec {b}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9e48a09ab2449fee674ca4049e93241e794419)
Поворот в площині на кут
переводить точку
в точку
У двовимірному випадку матриця повороту має вигляд
![{\displaystyle R(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880c7b69be96cddd50ae379e1457b4915e332165)
де
— кут повороту проти годинникової стрілки.
Вона обертає вектор рядок за допомогою наступного множення матриць,
.
Тож нові координати (x',y') точки (x,y) після обертання будуть наступні:
,
.
- Матриці повороту відносно осей x, y та z відповідно:
![{\displaystyle R_{x}(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{bmatrix}},\qquad R_{y}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &0&\sin \varphi \\0&1&0\\-\sin \varphi &0&\cos \varphi \\\end{bmatrix}},\qquad R_{z}(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi &0\\\sin \varphi &\cos \varphi &0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51e82157e27e2f900142f32b2347bd8baba7321)
- Матриця повороту може бути виражена через кути Ейлера як
![{\displaystyle \ R=R_{z}(\varphi )\cdot R_{y}(\theta )\cdot R_{x}(\psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff50567e6d85aa18835a1ae54c06b4ef2686ebcc)
- Матриця повороту відносно одиничного вектора
на кут
:
![{\displaystyle R_{\mathbf {u} }(\varphi )=\mathbf {uu} ^{T}+(I-\mathbf {uu} ^{T})\cos \varphi +{\big [}\mathbf {u} {\big ]}_{\times }\sin \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff756d184b3dc0d55c21984621705b62f914b1c7)
де
— матриця векторного добутку,
— тензорний добуток векторів (результатом є матриця).
Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших:
- перший — проектор на лінію вектора u,
- інші — на лінії, що перпендикулярні вектору u.
Вищенаведена формула — матричний запис формули повороту Родрігеса.
У просторі Мінковського матриця повороту включає в себе як просторові повороти, так і переходи від однієї інерційної системи відліку до іншої, які задаються перетвореннями Лоренца.