Матриця переходу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матрицею переходу або матрицею перетворення в -мірному просторі від базису до базису є квадратна матриця, стовпці якої — координати розкладу векторів в базисі .

Позначається

Застосування[ред.ред. код]

Матриці дозволяють будь-яке лінійне відображення представити у зручному для обчислень форматі.[1] Це також дозволяє легше поєднати декілька перетворень (помноживши їхні матриці).

Лінійне відображення не єдине, яке можна представити за допомогою матриць. Деякі перетворення що не є лінійними або є n-вимірними в Евклідовому просторі Rn, можуть бути представлені як лінійне перетворення у просторі розмірністю n+1 - Rn+1. В такому випадку вона включатиме як Афінні перетворення (такі як переміщення) і проективні перетворення. Тому, матриці перетворення 4×4 широко використовуються у застосуваннях тривимірної комп'ютерної графіки. Ці n+1-вимірні матриці перетворення називаються по різному в залежності від області їх застосування, афінні матриці перетворення, проективні матриці перетворення, або в більш загальному варіанті матриці не лінійного перетворення. По відношенню до n-вимірної матриці, матриця розмірністюn+1- може вважатися розширеною матрицею.

Представлення[ред.ред. код]

Оскільки

.

Матриця переходу це

При множенні справа вектора з лінійної оболонки базису на матрицю переходу ми отримуємо той самий вектор, виражений через базис .

Матриці переходу дозволяють виразити лінійні перетворення у форматі зручному для обчислень. Послідовності перетворень можуть бути обчислені шляхом перемноження матриць.

Для лінійних відображень не обов'язково щоб базиси належали одному простору чи, щоб простори мали однакову розмірність. В такому випадку матриця стає прямокутною.

В однорідній системі координат, афінні перетворення та перспективні проекції в можуть бути представлені як лінійні перетворення в . Через це, матриці перетворення 4x4 широко використовуються в тривимірній графіці.

Побудова матриці переходу[ред.ред. код]

Маючи лінійне перетворення в функціональній формі, можемо визначити матрицю переходу A, перетворюючи кожний вектор базису за допомогою T, потім вставляємо результати в стовпці матриці. Інакше кажучи,

Наприклад, функція являє собою лінійне перетворення. Застосувавши описаний процес, отримаємо

Приклади перетворень на площині[ред.ред. код]

Обертання[ред.ред. код]

Функціональна форма запису обертання на кут θ проти годинникової стрілки відносно початку координат

в матричній формі, це матриця повороту:

Масштабування[ред.ред. код]

Функціональна форма масштабування:

.

В матричній формі — діагональна матриця:

Коли , тоді зберігається площа.

Зсув[ред.ред. код]

У випадку зсуву (shear) можливі два варіанти. Зсув по осі x і ; тоді матриця зсуву має вигляд:

Зсув по осі y and , в цьому випадку:

Відбиття[ред.ред. код]

Для відбиття вектора від лінії яка проходить через початок координат, нехай (lx, ly) вектор, що лежить лінії:

Матриця Хаусхолдера:

Відбиття відносно лінії яка не проходить через початок координат не є лінійним перетворенням; це перетворення афінне.

Для відбиття точки відносно площини можна використати рівняння . Де I одинична матриця і N одиничний вектор нормалі до площини. Матриця перетворення буде мати вигляд:

Врахуйте, що такий підхід працює лише якщо площина проходить через початок координат: якщо ні, потрібне афінне перетворення.

Ортогональна проекція[ред.ред. код]

Для проекціонування вектора ортогонально на лінію яка проходить через початок координат, позначимо як (ux, uy) вектор, що лежить на лінії. Тоді використовуємо наступну матрицю:

Як і з відбиттям, ортогональна проекція на лінію яка не проходить через початок координат є афінним перетворенням, а не лінійним.

Композиція і відкат перетворень[ред.ред. код]

Одна з головних причин використання матриць для представлення лінійних перетворень це те, що перетворення можуть бути легко зкомпоновані і "відкочені".

Ефект композиції досягається шляхом матричного добутку. Якщо A та B матриці двох лінійних перетворень, тоді:

Іншими словами матриця композиції перетворень A і B це просто добуток окремих матриць перетворень. Зверніть увагу на порядок множників у добутку.

Обернена матриця A-1 представляє перетворення, яке "відкочує" A.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Gentle, James E. (2007). Matrix Transformations and Factorizations. Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics. Springer. ISBN 9780387708737. 

Посилання[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.