Зміна базису

Лінійні комбінації однієї базисної множини векторів (фіолетові) формують нові вектори (червоні). Якщо вони лінійно незалежні, то вони утворюють нову базисну множину. Лінійні комбінації, що пов'язують першу множину і другу становлять лінійне відображення, яке називається зміною базису.

Вектор представлено в двох різних базисах (фіолетові і червоні стрілки).

У лінійній алгебрі, базис для векторного простору це лінійно незалежна множина для якої цей простір є лінійною оболонкою. Ця стаття здебільшого розглядає скінченно-вимірні векторні простори, але багато теорем мають місце для нескінченно-вимірних векторних просторів. Базис векторного простору розмірності n це множина з n векторів (α₁, …, α_n), які називають базисними векторами, з властивістю, що будь-який вектор цього простору можна представити як унікальну лінійну комбінацію базисних векторів. Матриці переходу операторів також визначені вибраним базисом. Через те, що часто бажано працювати з більше ніж одним базисом для векторного простору, у лінійній алгебрі засадничо важливо бути здатним легко переходити від координатних представлень векторів і операторів в одному базисі до їх тотожних представлень в іншому базисі. Такий перехід називається зміною базису.

Хоча символ R, що ми його використовуємо нижче може позначати поле дійсних чисел, результати дійсні і, якщо R замінено на будь-яке поле F. Хоча нижче використано термінологію векторних просторів, обговорені результати дійсні і тоді коли R це комутативне кільце а векторний простір повсюдно замінено на вільний R-модуль.

Матриця переходу

Означення

Матрицею переходу в $\ n$-вимірному просторі від базису ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ до базису ${\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle$ називається квадратна матриця, стовпці якої — координати розкладу векторів $\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle$ у базисі $\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$.

А саме нехай виконуються рівності (де всі коефіцієнти однозначно визначені, бо $\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ є базисом):

$\mathbf {b} _{1}=\alpha _{11}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{12}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{1n}\mathbf {a} _{n}$

$\mathbf {b} _{2}=\alpha _{21}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{22}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{2n}\mathbf {a} _{n}$

$\cdots$.

$\mathbf {b} _{n}=\alpha _{n1}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{n2}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _{nn}\mathbf {a} _{n}.$

Тоді матриця переходу має вигляд:

$B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})={\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{21}&\ldots &\alpha _{n1}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}&\ldots &\alpha _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{1n}&\alpha _{2n}&\ldots &\alpha _{nn}\end{pmatrix}}$

Якщо записувати базиси за допомогою вектор-рядків елементами яких є базисні вектори, то можна у матричній формі записати:

$\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle =\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle \cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle {\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{21}&\ldots &\alpha _{n1}\\\alpha _{12}&\alpha _{22}&\ldots &\alpha _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{1n}&\alpha _{2n}&\ldots &\alpha _{nn}\end{pmatrix}}.$

Властивості

• Матрицею переходу від довільного базису ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ до самого себе є одинична матриця.
• Якщо ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$, ${\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle$ і ${\mathcal {C}}=\langle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\ldots ,\mathbf {c} _{n}\rangle$ є трьома базисами одного векторного простору і $B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ є матрицею переходу від ${\mathcal {A}}$ до базису ${\mathcal {B}},$ а $B({\mathcal {B}},{\mathcal {C}})$ є матрицею переходу від базису ${\mathcal {B}}$ до базису ${\mathcal {C}}$, то матриця переходу від ${\mathcal {A}}$ до ${\mathcal {C}}$ є добутком цих матриць:

$B({\mathcal {A}},{\mathcal {C}})=B({\mathcal {B}},{\mathcal {C}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$

• Зокрема із попереднього випливає, що матриця переходу між будь-якими матрицями є невиродженою і матриця зворотного переходу є оберненою до даної матриці переходу:

$B({\mathcal {B}},{\mathcal {A}})=(B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}))^{-1}$.

• Якщо розглядається векторний простір над полем дійсних чисел і базис ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ є ортонормованим щодо деякого скалярного добутку на просторі, то базис ${\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle$ буде ортонормованим тоді і тільки тоді, коли матриця переходу $B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ буде ортогональною. У випадку комплексних векторних просторів таке саме твердження справедливе для унітарних матриць і ермітових скалярних добутків.

Перетворення координат вектора при зміні базису

Нехай деякий довільний вектор $\mathbf {x}$ виражається через вектори у базисах ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ і ${\mathcal {B}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle$ як

$\mathbf {x} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+\dots +x_{n}\mathbf {a} _{n}=\sum _{i}x_{i}\,\mathbf {a} _{i},$

і

$\mathbf {x} =y_{1}\mathbf {b} _{1}+y_{2}\mathbf {b} _{2}+\dots +y_{n}\mathbf {b} _{n}=\sum _{i}y_{i}\,\mathbf {b} _{i}.$

Ці рівності дозволяють ввести координатні вектор-стовпці і за допомогою матричного добутку і означення матриці переходу записати:

$\mathbf {x} =\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\langle \mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\rangle {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle \cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}){\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}.$

Із однозначності запису вектора через базис звідси випливає формула перетворення координат при зміні базису:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}}){\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}.$

Тобто якщо координати деякого вектора у базисі ${\mathcal {B}}$ утворюють вектор стовпець $y$, а у базисі ${\mathcal {A}}$ утворюють вектор стовпець $x$, то

$x=B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})y.$

Важливо помітити зміну порядку у цій формулі. Якщо матриця $B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ визначає перехід від базису ${\mathcal {A}}$ до базису ${\mathcal {B}}$, то формула перетворення координат задає перехід навпаки від координат у базисі ${\mathcal {B}}$ до координат у базисі ${\mathcal {A}}$. Тому матрицю $B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ можна також називати матрицею переходу від координат у базисі ${\mathcal {B}}$ до координат у базисі ${\mathcal {A}}$.

У такій інтерпретації можна також дати означення матриці переходу через матриці лінійного відображення. Стовпцями такої матриці $M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ є координати $T(\mathbf {a} _{i})$ у базисі ${\mathcal {B}}$. Якщо вибрати тотожне лінійне перетворення то стовпцями матриці $M(I;{\mathcal {B}},{\mathcal {A}})$ будуть координати розкладів векторів із ${\mathcal {B}}$ у базисі ${\mathcal {A}}$. Тому

$B({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})=M(I;{\mathcal {B}},{\mathcal {A}})$.

Зміна порядку базисів у правій і лівій частині не є помилково.

Приклади

Два виміри

У двовимірному просторі, двійка векторів отриманих обертанням стандартного базису проти годинникової стрілки на 45° є базисом простору. Матриця чиї стовпчики є координатами цих векторів у початковому базисі має вид:

$M={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$

Якщо ми хочемо перевести будь-який вектор простору в цей базис, нам треба помножити зліва його компоненти на обернену до цієї матрицю, а щоб перевести вектор з координатами у новому базисі у координати стандартного потрібно нові координати помножити на саму матрицю.

Три виміри

Нехай R буде новим базисом заданим за допомогою кутів Ейлера. Матриця цього базису в якості стовпців матиме компоненти кожного з векторів у стандартному базисі. Отже, ця матриця виглядає так (Див. статтю Ейлерові кути):

$\mathbf {R} ={\begin{bmatrix}\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\gamma }-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&-\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {s} _{\gamma }-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\alpha }\\\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\gamma }+\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&-\mathrm {s} _{\alpha }\,\mathrm {s} _{\gamma }+\mathrm {c} _{\alpha }\,\mathrm {c} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&-\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\alpha }\\\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {s} _{\gamma }&\mathrm {s} _{\beta }\,\mathrm {c} _{\gamma }&\mathrm {c} _{\beta }\end{bmatrix}}.$

Знов-таки, будь-який вектор простору можна перевести в цей новий базис домножуючи його зліва на обернену до цієї матриці.

Перетворення матриці лінійного відображення при зміні базису

Нехай задані векторні простори $V$ і $W$ над одним полем і для простору $V$ вибрані два базиси ${\mathcal {A}}=(\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})$ і ${\mathcal {A}}'=(\mathbf {a} '_{1},\ldots ,\mathbf {a} '_{n}),$ а у просторі $W$ вибрані два базиси ${\mathcal {B}}=(\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{m})$ і ${\mathcal {B}}'=(\mathbf {b} '_{1},\ldots ,\mathbf {b} '_{m}).$ Нехай $B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')$ і $B({\mathcal {B}},{\mathcal {B}}')$ є відповідними переходами між базисами у двох просторах.

Якщо тепер $T:V\to W$ є лінійним відображенням то у відповідних базисах воно задається матрицями $M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$ і $M(T;{\mathcal {A}}',{\mathcal {B}}')$. Якщо $\mathbf {x} \in V$ є довільним вектором, координати якого у базисах ${\mathcal {A}}$ і ${\mathcal {A}}'$ можна записати за допомогою вектор стовпців ${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ і ${\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}$, то $T(\mathbf {x} )$ є вектором простору $W$ координати якого у базисах ${\mathcal {B}},{\mathcal {B}}'$ можна записати за допомогою вектор стовпців ${\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}$ і ${\begin{pmatrix}y'_{1}\\\vdots \\y'_{m}\end{pmatrix}}$.

У цих позначеннях у матричному записі враховуючи означення матриць переходу і лінійного відображення:

${\begin{pmatrix}y'_{1}\\\vdots \\y'_{m}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{{\mathcal {A}}'})\cdot {\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}.$

Оскільки вказані рівності справедливі для координатних стовпців усіх векторів $\mathbf {x} \in V$, то $B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{{\mathcal {A}}'})$ є однозначно визначеною матрицею відображення $T:V\to W$ у базисах ${\mathcal {A}}'$ і ${\mathcal {B}}'$:

$M(T;{\mathcal {A}}',{\mathcal {B}}')=B({\mathcal {B}}',{\mathcal {B}})\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')=(B({\mathcal {B}},{\mathcal {B}}')^{-1}\cdot M(T;{\mathcal {A}},{\mathcal {B}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}').$

Зокрема якщо $V=W$ і $T$ є лінійним перетворенням, то його матриці у базисах ${\mathcal {A}}$ і ${\mathcal {A}}'$ пов'язані співвідношенням:

$M(T;{\mathcal {A}}')=(B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}'))^{-1}\cdot M(T;{\mathcal {A}})\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')$.

У простіших позначеннях, якщо $A$ є матрицею перетворення у базисі ${\mathcal {A}}$, а $A'$ є матрицею перетворення у базисі ${\mathcal {A}}'$ і $U=B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')$, то:

$A'=U^{-1}AU$.

Матриця білінійної форми

Білінійна форма на векторному просторі V над полем R це відображення V × V → R лінійне щодо обох аргументів. Тобто, B : V × V → R білінійна, якщо відображення

$\mathbf {x} \mapsto B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

$\mathbf {y} \mapsto B(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )$

лінійні для будь-якого y з V. Це визначення також застосовне для модуля над комутативним кільцем і гомоморфізмом модуля в якості лінійного відображення.

Матриця Грама G, що відповідає базису ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ визначена так

$G_{i,j}=B(\mathbf {a} _{i},\mathbf {a} _{j}).$

Якщо $\mathbf {x} =\sum _{i}x_{i}\mathbf {a} _{i}$ і $\mathbf {y} =\sum _{i}y_{i}\mathbf {a} _{i}$ це представлення векторів x, y у цьому базисі, тоді білінійна форма задана так

$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}G\mathbf {y} .$

Матриця буде симетрична якщо білінійна форма B це симетрична білінійна форма.

Зміна базису

Якщо задано два базиси ${\mathcal {A}}=\langle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\ldots ,\mathbf {a} _{n}\rangle$ і ${\mathcal {A}}'=\langle \mathbf {a} '_{1},\mathbf {a} '_{2},\ldots ,\mathbf {a} '_{n}\rangle$, $G$ є матрицею Грама у першому базисі, а $G'$ є матрицею грама у другому базисі, то ці матриці пов'язана співвідношенням із матрицею переходу $B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')$:

$G'=B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}')^{\mathsf {T}}\cdot G\cdot B({\mathcal {A}},{\mathcal {A}}').$

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (вид. 5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (вид. 2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646