Пластичне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Пластичне число
Зображення
Числове значення 1,324717957245
Формула і
Позначення у формулі
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
CMNS: Пластичне число у Вікісховищі

У математиці пластичне число (також відоме як пластична константа) — це єдиний дійсний корінь рівняння

Його числове значення

приблизно дорівнює 1,32471795724474602596090885447809734073440405690173336453401505030282785124554759405469934798178728032991 … (цифри утворюють послідовність A060006 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Пластичне число іноді також називають срібним числом, але частіше цю назву використовують для срібного перетину .

Назву пластичне число (спочатку нідерландською plastische getal) дав 1928 року Ганс ван дер Лаан. На відміну від назв золотого і срібного перетинів, слово, пластичний не мало ніякого стосунку до якоїсь речовини, а більше стосувалося того, що йому можна надати тривимірної форми (Padovan 2002; Shannon, Anderson, and Horadam 2006).

Властивості

[ред. | ред. код]

Пластичне число є границею відношення послідовних членів послідовностей Падована і Перрена і має для них такий самий сенс, як золотий перетин для послідовності Фібоначчі і срібний перетин для чисел Пелля.

Пластичне число також є коренем рівнянь:

і т. д.

Пластичне число подається у вигляді нескінченно вкладених радикалів:

.

Теорія чисел

[ред. | ред. код]

Оскільки пластичне число має мінімальний многочлен x3x − 1 = 0, воно також є коренем поліноміальних рівнянь p(x) = 0 для всіх поліномів p, кратних x3x − 1, але не будь-яких інших поліномів з цілими коефіцієнтами. Оскільки дискримінант його найменшого полінома дорівнює −23, його поле розкладу над полем раціональних чисел є ℚ(−23, ρ). Це поле також є полем класів Гільберта ℚ(−23).

Пластичне число є найменшим числом Пізо. Його спряженими елементами є

з модулем ≈ 0.868837 (послідовність A191909 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Це значення також дорівнює 1/ρ оскільки добуток трьох коренів мінімального многочлена дорівнює 1.

Тригонометрія

[ред. | ред. код]

Пластикове число можна записати за допомогою гіперболічного косинуса (cosh) та його оберненої функції:

Геометрія

[ред. | ред. код]
Three partitions of a square into similar rectangles

Існує рівно три способи поділу квадрата на три подібні прямокутники:[1][2]

  1. Тривіальним випадком є три конгруентні прямокутники із відношенням сторін 3:1.
  2. Розв'язок, за якого два з трьох прямокутників однакові, а третій має подвоєні, порівняно з ними, довжини сторін; відношення сторін 3:2.
  3. Розв'язок за якого всі три прямокутники мають різні розміри і відношення сторін ρ2. Відношення лінійних розмірів трьох прямокутників: ρ (великий: середній), ρ2 (середній: малий) і ρ3 (великий: малий). Внутрішня довга сторона найбільшого прямокутника (лінія розрізу квадрата) ділить два з чотирьох ребер квадрата на два відрізки, відношення довжин яких дорівнює ρ. Внутрішня коротка сторона середнього прямокутника і довга сторна малого прямокутника ділить одну з інших сторін квадрата на два відрізки, відношення довжин яких дорівнює ρ4.

Той факт, що прямокутник з відношенням сторін ρ2 можна використати для розрізання квадратів на подібні прямокутники, еквівалентний алгебраїчній властивості числа ρ2 пов'язаній з теоремою Рауса — Гурвіца: всі спряжені з ним числа мають додатну дійсну частину[3][4].

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Ian Stewart, A Guide to Computer Dating (Feedback), Scientific American, Vol. 275, No. 5, November 1996, p. 118
  2. de Spinadel, Vera W.; Antonia, Redondo Buitrago (2009), Towards van der Laan's plastic number in the plane (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 13 (2): 163—175.
  3. Freiling, C.; Rinne, D. (1994), Tiling a square with similar rectangles, Mathematical Research Letters, 1 (5): 547—558, doi:10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3, MR 1295549
  4. Laczkovich, M.; Szekeres, G. (1995), Tilings of the square with similar rectangles, Discrete and Computational Geometry, 13 (3–4): 569—572, doi:10.1007/BF02574063, MR 1318796

Посилання

[ред. | ред. код]