Паралелограм

Паралелограм

Паралелогра́м — чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

Існує декілька окремих видів паралелограма:

• Прямокутник — паралелограм, всі кути якого прямі;
• Ромб — паралелограм, всі чотири сторони якого рівні між собою;
• Квадрат — рівнобічний прямокутник або ромб з прямими кутами при вершинах.

Паралелограм є плоскою геометричною фігурою, його аналогом у тривимірному просторі є паралелепіпед.

Особливі випадки

• Ромбоїд – чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні, а прилеглі сторони не рівні, а його кути не є прямими кутами
• Прямокутник – паралелограм із чотирма рівними кутами (прямими).
• Ромб – паралелограм, чотири сторони якого є рівними.
• Квадрат – паралелограм чотири сторони і чотири кути якого є рівними.

Ознаки паралелограма

Простий (не перехрещений) чотирикутник є паралелограмом тоді й лише тоді якщо одне із наведених нижче тверджень є вірним:

• Протилежні сторони паралелограма рівні, тобто $AB=DC$ та $AD=BC$.
• Протилежні кути паралелограма рівні, тобто $\angle A=\angle C$ та $\angle B=\angle D$.
• Діагоналі паралелограма перетинаються та точкою перетину діляться навпіл.
• Одна пара протилежних сторін є паралельними і мають однакову довжину.
• Кожна з діагоналей поділяє чотирикутник на два конгруентні трикутники.
• Сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює $180^{\circ }$. Загальна сума кутів паралелограма дорівнює $360^{\circ }$.
• Сума квадратів діагоналей дорівнює подвоєнній сумі квадратів двох його суміжних сторін (правило паралелограма).

Інші властивості

• В чотирикутнику дві сторони рівні та паралельні.
• В чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні.
• В чотирикутнику протилежні кути попарно рівні.
• Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма.
• Будь-яка пряма, яка проходить через центр паралелограма поділяє його площу навпіл.
• Сума кутів при кожній стороні становить $180^{\circ }$.
• В чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Площа паралелограма

Паралелограм можна перебудувати у прямокутник з такою ж площею.

Анімація для формули визначення площі $S=bh$.

Паралелограм із основою b і висотою h можна розділити на трапецію і прямокутний трикутник, і перебудувати у прямокутник, як показано на малюнку праворуч. Це означає, що площа паралелограма є такою ж як у прямокутника із такою ж основою і висотою:

$S=bh.$

Іншими словами, площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, яка перпендикулярна до цієї сторони:

$S=DC\cdot h_{DC}=BC\cdot h_{BC}$.

Площа паралелограма, це площа внутрішньої області, що виділена синім і визначається як :$S=B\cdot C\cdot \sin \theta \,$, де B і C — сторони паралелограма.

Також площа паралелограма рівна добутку двох його непаралельних сторін та синуса кута між ними:

$S=DC\cdot AD\cdot \sin \angle D=DC\cdot BC\cdot \sin \angle C.$

Якщо розглядати паралелограм як геометричну фігуру, яка побудована на двох векторах ${\vec {DA}}$ та ${\vec {DC}}$, то площа паралелограма буде дорівнювати модулю векторного добутку цих векторів: $S=|{\vec {DC}}\times {\vec {DA}}|=|DC|\cdot |DA|\cdot \sin \angle AED.$

Площа паралелограма (як і будь-якого чотирикутника без самоперетинів) рівна півдобутку діагоналей, помноженому на синус кута між ними: $S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \gamma }{2}}$.

Площа паралелограма із сторонами B і C (B ≠ C) і кутом $\gamma$ утвореним перетином діагоналей дорівнює наступному

$S={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.$

Якщо паралелограм заданий довжинами B і C двох прилеглих сторін і довжиною однієї з діагоналей D₁, тоді площу можна знайти за допомогою формули Герона. Що задається наступним чином

$S=2{\sqrt {K(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}$

де $K=(B+C+D_{1})/2$ і перший множник 2 додано оскільки, будь-яка обрана діагональ поділяє паралелограм на два конгруентні трикутники.

Площа паралелограма при відомих декартових координатах вершин

Нехай існують вектори $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$ і нехай $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ позначає матрицю елементів a і b. Тоді площею паралелограма, що заданий за допомогою a і b буде $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$.

Нехай існують вектори $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ і нехай $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}$. тоді площа паралелограма, що задана за допомогою a і b буде дорівнювати ${\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}$.

Нехай існують точки $a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$. Тоді площа паралелограма із вершинами в точках a, b і c є еквівалентною абсолютному значенню детермінанта матриці, що побудована так, що a, b і c є її рядками і остання колонка доповнена одиницями, як наведено нижче:

$S=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|.$

Доведення, що діагоналі паралелограма перетинаються

Паралелограм ABCD

Аби довести, що діагоналі паралелограма перетинаються, використаємо конгруентні трикутники:

$\angle ABE\cong \angle CDE$ (обопільні внутрішні кути є однакові за розміром)

$\angle BAE\cong \angle DCE$ (обопільні внутрішні кути є однакові за розміром).

(оскільки це кути, що утворені перетином прямої із двома паралельними прямими AB і DC).

Також, сторона AB має таку ж саму довжину що і сторона DC, оскільки протилежні сторони паралелограма є рівними.

Таким чином, трикутники ABE і CDE are congruent (постулат Кут-Сторона-Кут (КСК), два відповідні кути і прилегла сторона).

Тому,

$AE=CE$

$BE=DE.$

Оскільки діагоналі AC і BD поділяють одна одну на відрізки однакової довжини, діагоналі перетинають одна одну.

Відповідно, оскільки діагоналі AC і BD перетинають одна одну в точці E, точка E є серединою кожної діагоналі.

Див. також

• Правило паралелограма
• Трапеція
• Паралелограм сил
• Антипаралелограм

Посилання

• Eric W. Weisstein, Parallelogram at MathWorld.
• Геометрія: Підруч. для 7— 9 кл. серед. шк./ Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін. — К.: Освіта, 1993. — 304 с.