Алгебраїчна теорія чисел: відмінності між версіями
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування Мітки: перше редагування Перемкнуто з візуального редактора |
|||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
'''Теорія алгебраїчних чисел''' — це розділ [[Теорія чисел|теорії чисел]], яка використовує методи [[Абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]] для вивчення [[Цілі числа|цілих чисел]], [[Раціональні числа|раціональних чисел]] та їх узагальнень. Теорія чисел виражається в термінах властивостей алгебраїчних об'єктів, таких як поля алгебраїчних чисел та [[Кільце цілих чисел|кільця цілих чисел]], кінцевих полів та полів функцій. Ці властивості допускають унікальну факторизацію, поведінку ідеалів і [[Група Галуа|групи Галуа]] полів, можуть вирішити питання першорядного значення в теорії чисел такі, як-от існування рішень [[Діофантові рівняння|Діофантових рівнянь]]. |
|||
| ⚫ | |||
== Історія алгебраїчної теорії чисел == |
|||
| ⚫ | |||
==Додаткова література== |
|||
=== Діофант === |
|||
Початки теорії алгебраїчних чисел можна простежити до рівнянь Діофанта<ref>Stark, pp. 145—146.</ref>, названих на честь математика [[Александрія|Александрії]] III століття Діофанта, який вивчав їх і розробив методи розв'язання деяких видів діофантових рівнянь. Типовою проблемою діофантових рівнянь є пошук двох цілих чисел ''x'' та ''y'' таких, що їх сума та сума їх квадратів дорівнюють двом заданим числам A і B, відповідно: |
|||
===Література початкового рівня=== |
|||
<math>A = x+y</math> |
|||
* {{citation |first=William |last=Stein |title=Algebraic Number Theory, A Computational Approach |year=2012 |url=https://wstein.org/books/ant/ant.pdf}} |
|||
* {{citation |last1=Ireland |first1=Kenneth |last2=Rosen |first2=Michael |title=A classical introduction to modern number theory |publisher=Springer |year=2013 |isbn=978-1-4757-2103-4 |doi=10.1007/978-1-4757-2103-4 |volume=84}} |
|||
* {{citation |author-link=Ian Stewart (mathematician)|author2-link=David Tall |first1=Ian |last1=Stewart |first2=David |last2=Tall |title=Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem |url=https://books.google.com/books?id=xXu9CgAAQBAJ |date=2015 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4987-3840-8}} |
|||
===Література середнього рівня=== |
|||
<math>B = x ^2 + y ^ 2</math> |
|||
* {{citation |first=Daniel A. |last=Marcus |title=Number Fields |url=https://books.google.com/books?id=AjRjDwAAQBAJ |date=2018 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-90233-3 |edition=2nd}} |
|||
Діофантові рівняння вивчалися протягом тисячоліть. Наприклад, розв'язок квадратного рівняння Діофанта ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = ''z''<sup>2</sup> даються [[Числа Піфагора|піфагоровій трійці]], спочатку вирішеними вавилонянами (близько 1800 до н. е.)<ref>Aczel, pp. 14–15.</ref>. Розв'язок лінійних діофантових рівнянь, наприклад 26x + 65y = 13, можна знайти за допомогою [[Алгоритм Евкліда|евклідового алгоритму]] (V століття до н. е.)<ref>Stark, pp. 44–47.</ref>. |
|||
Основною роботою Діофанта була арифметика, з якої вижила лише частина. |
|||
=== Ферма === |
|||
[[Велика теорема Ферма]] була вперше вигадана [[П'єр Ферма|П'єром де Ферма]] в 1637 році. До 1995 року не було видано жодних успішних доказів, незважаючи на зусилля безлічі математиків протягом 358 років. Нерозв'язана проблема стимулювала розвиток теорії алгебраїчних чисел у XIX столітті та доказ теореми модульності в ХХ столітті. |
|||
=== Гаус === |
|||
Один з основоположних робіт теорії алгебраїчних чисел — '''Disquisitiones Arithmeticae'''<ref>[http://yalepress.yale.edu/yupbooks/book.asp?isbn=9780300094732 ''Disquisitiones Arithmeticae''] at Yalepress.yale.edu</ref>(арифметичні дослідження) — це підручник теорії чисел, написаний латинською [[Карл Фрідріх Гаусс|Карлом Фрідріхом Гауссом]] 1798 року, коли Карлу було 21 і вперше опубліковано 1801 року, коли йому було 24 роки. У цій книзі Гаусс об'єднує результати в [[Теорія чисел|теорії чисел]], отримані математиками, такими як [[П'єр Ферма|Ферма]], [[Леонард Ейлер|Ейлер]], [[Жозеф-Луї Лагранж|Лагранж]] та [[Адрієн-Марі Лежандр|Лежандр]], і додає нові важливі результати. До публікації ''досліджень'', теорія чисел полягала в зборі ізольованих теорем і припущень. Гаусс об'єднав роботу своїх попередників разом з власною оригінальною роботою в систематизовану структуру, заповнив прогалини, виправив недобросовісні докази та розширив тему по-різному. |
|||
''Дослідження'' стали відправною точкою для роботи інших європейських математиків дев'ятнадцятого сторіччя, зокрема [[Ернст Едуард Куммер|Ернста Кумера]], [[Йоганн Петер Густав Лежен-Діріхле|Йогана Петера Густава Леджена-Дірихле]] та [[Ріхард Дедекінд|Річарда Дедекінда]]. Багато анотацій, наданих Гаусом, фактично є анонсуваннями його подальших досліджень, деякі з яких залишаються неопублікованими. Вони, здається, були особливо загадковими для сучасників; Тепер ми можемо їх прочитати як містять мікроорганізми теорій L-функцій та комплексного множення, зокрема. |
|||
=== Дірихле === |
|||
У деяких документів 1838 та 1839 років [[Йоганн Петер Густав Лежен-Діріхле|Йоган Петер Густав Леджена-Дірихле]] довів формулу першого класу для квадратичних форм (пізніше його удосконалив його студент [[Леопольд Кронекер]]). Формула, яку Якобі називав результатом «торкаючись максимально людської схильності», відкрили шлях до подібних результатів щодо більш загальних [[Поле (алгебра)|чисельних полів]]. На основі його дослідження структури [[Оборотний елемент|одиничної групи]] квадратичних полів він довів теорему Дірихле, фундаментальний результат в теорії алгебраїчних чисел<ref>{{Cite book|title=Number theoretic methods: future trends|last=Kanemitsu|first=Shigeru|publisher=Springer|pages=271–274|isbn=978-1-4020-1080-4}}</ref>. |
|||
Він вперше застосував [[Принцип Діріхле|принцип голубів і кліток]], основний аргумент для підрахунку, в доказі теореми в [[Діофантова апроксимація|діофантовому наближенні]], згодом назвав його теорією наближення Дірихле. Він опублікував важливий внесок у [[Велика теорема Ферма|останню теорему Ферма]], за яку він довів випадки ''n = 5'' і ''n = 14'', а також закону дворівневої взаємності. [[Проблема дільника Дірихле]], за яку він знайшов перші результати, все ще залишається невирішеною проблемою в теорії чисел, незважаючи на подальші вклади інших дослідників. |
|||
| ⚫ | |||
| ⚫ | |||
== |
===Література для аспірантів=== |
||
*{{Citation |
|||
* William Stein, «A Computational Introduction to Algebraic Number Theory» |
|||
| editor-last=Cassels |
|||
* Kenneth Ireland and Michael Rosen, «A Classical Introduction to Modern Number Theory, Second Edition», Springer-Verlag, 1990 |
|||
| editor-first=J. W. S. |
|||
* {{не перекладено|Ян Стюарт (математик)|Ian Stewart|en|Ian Stewart (mathematician)}} and {{не перекладено|Девід О. Талл|David O. Tall|en|David O. Tall}}, "Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, " A. K. Peters, 2002 |
|||
| editor-link=J. W. S. Cassels |
|||
{{Бібліоінформація}} |
|||
| editor2-last=Fröhlich |
|||
| editor2-first=Albrecht |
|||
| editor2-link=Albrecht Fröhlich |
|||
| title=Algebraic number theory |
|||
| year=2010 |edition=2nd |
|||
| place=London |
|||
| publisher=9780950273426 |
|||
| mr=0215665 |
|||
}} |
|||
*{{Citation |
|||
| last1=Fröhlich |
|||
| first1=Albrecht |
|||
| author-link=Albrecht Fröhlich |
|||
| last2=Taylor |
|||
| first2=Martin J. |
|||
| author2-link=Martin J. Taylor |
|||
| title=Algebraic number theory |
|||
| publisher=[[Cambridge University Press]] |
|||
| year=1993 |
|||
| series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |
|||
| volume=27 |
|||
| isbn=0-521-43834-9 |
|||
| mr=1215934 |
|||
}} |
|||
*{{Citation |
|||
| last=Lang |
|||
| first=Serge |
|||
| author-link=Serge Lang |
|||
| title=Algebraic number theory |
|||
| edition=2 |
|||
| publisher=[[Springer-Verlag]] |
|||
| year=1994 |
|||
| series={{нп| Наукові математичні тексти|Graduate Texts in Mathematics|en|Graduate Texts in Mathematics}} |
|||
| volume=110 |
|||
| place=New York |
|||
| isbn=978-0-387-94225-4 |
|||
| mr=1282723 |
|||
}} |
|||
*{{Citation |
|||
| last=Neukirch |
|||
| name=Jürgen |
|||
| author-link={{Jürgen Neukirch|en|Jürgen Neukirch}} |
|||
| year=1999 |
|||
| title=Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |
|||
| volume=322 |
|||
| place=Berlin |
|||
| publisher=[[Springer-Verlag]] |
|||
| isbn=978-3-540-65399-8 |
|||
| mr=1697859 |
|||
| zbl=0956.11021 |
|||
}} |
|||
{{Розділи математики}} |
{{Розділи математики}} |
||
[[Категорія:Алгебраїчна теорія чисел]] |
[[Категорія:Алгебраїчна теорія чисел| ]] |
||
[[Категорія:Розділи математики]] |
|||
Версія за 20:31, 26 квітня 2022
Примітки
Додаткова література
Література початкового рівня
- Stein, William (2012), Algebraic Number Theory, A Computational Approach (PDF)
- Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (2013), A classical introduction to modern number theory, т. 84, Springer, doi:10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 978-1-4757-2103-4
- Stewart, Ian; Tall, David (2015), Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, CRC Press, ISBN 978-1-4987-3840-8
Література середнього рівня
- Marcus, Daniel A. (2018), Number Fields (вид. 2nd), Springer, ISBN 978-3-319-90233-3
Література для аспірантів
- Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht, ред. (2010), Algebraic number theory (вид. 2nd), London: 9780950273426, MR 0215665
- Fröhlich, Albrecht; Taylor, Martin J. (1993), Algebraic number theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 27, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43834-9, MR 1215934
- Lang, Serge (1994), Algebraic number theory, Graduate Texts in Mathematics[en], т. 110 (вид. 2), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94225-4, MR 1282723
- Neukirch (1999), Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, т. 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021
{{citation}}: Перевірте значення|author-link=(довідка); Проігноровано невідомий параметр|name=(довідка)
