Алгебра Гейтінга

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Алгебра Гейтінгаґратка, що узагальнює Булеву алгебру, названа на честь Аренда Гейтінга. Алгебри Гейтінга постають як моделі інтуіціоністської логіки, логіки в якій закон виключення третього не виконується.

Визначення[ред.ред. код]

Алгебра Гейтінга Hобмежена ґратка (тобто існують 0 та 1), така що для всіх a,bH існує найбільший елемент xH такий, що

 a \wedge x \le b.

Цей елемент є відносним псевдо-доповненням a по відношенню до b, і позначається ab.

Псевдо-доповненням довільного елемента x називається ¬x = (x → 0). Отже, за визначенням, a ∧ ¬a = 0. Хоча, не завжди a ∨ ¬a = 1, як це виконується в Булевій алгебрі.

Доповнена Алгебра Гейтінга — Алгебра Гейтінга, що є доповненою ґраткою.

Алгебраїчне визначення[ред.ред. код]

Алгебра Гейтінга Hобмежена ґратка, з бінарною операцією імплікації, тобто:

  1. ~a\rightarrow a = 1
  2. a \wedge (a \rightarrow b)= a \wedge b
  3. b \wedge (a \rightarrow b)= b
  4. a \rightarrow (b \wedge c)= (a \rightarrow b) \wedge (a \rightarrow c)дистрибутивний закон.

Приклади[ред.ред. код]

  • Булева алгебра є алгеброю Гейтінга, в якій імплікація визначена як pq = ¬pq.
  • Лінійно впорядкована множина що є обмеженою ґраткою є алгеброю Гейтінга, де pq рівне q якщо p>q, та 1 в протилежному випадку.
  • Найпростішою алгеброю Гейтінга, що не є Булевою алгеброю є цілком впорядкована множина {0, ½, 1} з імплікацією визначеною як в прикладі 2. Зауважимо, що не виконується закон виключення третього: ½ ∨ ¬½ = ½.

Властивості[ред.ред. код]

Загальні властивості[ред.ред. код]

  • На відміну від багатозначної логіки, якщо в алгебрі Гейтінга (чи Булевій алгебрі) для деякого елемента: ¬a = a , тоді алгебра є одноелементною.

Закони де Моргана[ред.ред. код]

Один із законів де Моргана в алгебрі Гейтінга виконується без змін:

\lnot(x \vee y)=\lnot x \wedge \lnot y

Інший виконується в слабшій формі:

\lnot(x \wedge y)= \lnot \lnot (\lnot x \vee \lnot y)

Джерела[ред.ред. код]

  • Биркгоф Г.en (1984). Теория решёток. Переклад с англ. В. Н. Салий; Под ред. Л. А. Скорнякова. Москва: Наука. с. 566.  9400 экз.