Багатогранник

Мінімальний тороїдальний багатогранник

Багатогра́нник — геометрична фігура, частина простору, обмежена замкненою поверхнею, що складається з плоских багатокутників, які називаються гранями багатогранника.

Окремий інтерес викликають правильні багатогранники.

Визначення

Багатогра́нник, а точніше тривимірний багатогра́нник — сукупність скінченного числа плоских багатокутників в тривимірному евклідовому просторі така, що:

1. кожна сторона будь-якого із багатокутників є одночасно стороною іншого (але тільки одного), яке називається суміжним з першим (за цією стороною);
2. зв'язність: від будь-якого із багатокутників, які складають багатогранник, можна дійти до будь-якого із них, переходячи до суміжного з ним, а від цього, в свою чергу, до суміжного з ним, і т. д.

Ці багатокутники називаються гранями, їх сторони — ребрами, а їх вершини — вершинами багатогранника. Найпростішими прикладами багатогранників є опуклі багатогранники, тобто границя обмеженої підмножини евклідова простора що є перетином скінченного числа напівпросторів.

Варіанти значення

Наведене визначення багатогранника набуває різного змісту в залежності від того, як визначити багатокутник, для якого можливі наступні два варіанти:

• Плоскі замкнені ламані (навіть і ті, в яких є самоперетин);
• Частини площини, обмежені ламаними.

В першому випадку ми маємо поняття зірчастий багатогранник. У другому — багатогранник є поверхня, складена із багатокутних кусків. Якщо ця поверхня сама себе не перетинає, то вона є повною поверхнею деякого геометричного тіла, яке також називається багатогранником. Звідси з'являється третє визначення багатогранника, як самого геометричного тіла.

Зв'язані визначення

• Багатогранник з $n$ гранями називають $n$-гранник.
  • Зокрема, тетраедр це приклад 4-гранника, додекаедр — 12-гранник, ікосаедр — 20-гранник і т. д.

Опуклий багатогранник

Багатогранник називається опуклим, якщо він увесь розташований по один бік від площини кожної з його граней.

Опукле тіло обмежене двома площинами у просторі буде прикладом нескінченного опуклого багатогранника.

Варіації і узагальнення

• Поняття багатогранника індуктивно узагальнюється по розмірності, і зазвичай називається n-вимірний багатогранник.
• Нескінченний багатогранник допускає у визначенні кінцеве число необмежених граней і ребер
• Криволінійні багатогранники допускають криволінійні ребра і грані.
• Сферичний багатогранник.

Див. також

• Теорема Александрова про опуклі багатогранники