Гіпотеза фон Неймана

Група (математика)
Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Фактор-група (напів-)Прямий добуток
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедральна група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Групи Конвея Co1 • Co2 • Co3 Групи Янко J1 • J2 • J3 • J4 Групи Фішера F22 • F23 • F24 Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Ортогональна група O(n) Спеціальна унітарна група SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Група Лоренца Група Пуанкаре

Гіпо́теза фон Не́ймана — спростована гіпотеза про структуру аменабельних груп.

Формулювання

Будь-яка неаменабельна група містить підгрупу, ізоморфну вільній групі з двома твірними.

Історія

• 1929 року, працюючи над парадоксом подвоєння кулі, Джон фон Нейман увів поняття аменабельної групи. Він довів, що будь-яка група, що містить вільну підгрупу рангу 2 не є аменабельною. У 1950-х — 1960-х роках кілька математиків припустили, що істинне й протилежне.
  • Хоча ця гіпотеза носить ім'я фон Неймана, перша публікація з її формулюванням належить Махлону Маршу Дею (1957).
• Альтернатива Тітса, доведена 1972 року, дає позитивну відповідь у випадку, якщо група лінійна, тобто є підгрупою групи матриць над деяким полем.
• 1980 року Ольшанський спростував гіпотезу. Він показав, що монстр Тарського, який, як легко бачити, не має вільних підгруп рангу 2, неамінабельний.
• За два роки Адян показав, що певні бернсайдівські групи також дають контрприклад.
• Можливим контрприкладом є група Томпсона F, але досі не відомо, чи вона є амінабельною.
• Жодна з груп згаданих вище не є скінченно заданою. Протягом кількох років вважалося, що, можливо, гіпотеза істинна для наведених груп. Однак 2003 року, Ольшанський та Сапир побудували скінченно-представлені контрприклади.
• 2012 року Ніколас Монод знайшов простий контрприклад до гіпотези.
• 2013 року Лодха і Мур знайшли скінченно представлені підгрупи в прикладі Монода, які також дають контрприклад.
  • Останній приклад є першим прикладом без кручення, він допускає задання з трьома твірними та дев'ятьма співвідношеннями.
  • Лодха пізніше показав, що ця група $G$ задовольняє властивості $F_{\infty }$ тобто її K(G,n) простір має скінченне число клітинок кожної розмірності.

Посилання

• Адян С.И. Случайные блуждания на свободных периодических группах // Изв. АН СССР. Серия математическая. — 1982. — Т. 46, вып. 6. — С. 1139–1149.
• Day, Mahlon M. (1957), Amenable semigroups, Ill. J. Math., 1: 509—544
• А. Ю. Ольшанский. К вопросу о существовании инвариантного среднего на группе // УМН. — 1980. — Т. 35, № 4(214). — С. 199—200.
• Ol'shanskii, A.; Sapir, M. (2003), Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups, Publications Mathématiques de l'IHÉS, 96 (1): 43—169, doi:10.1007/s10240-002-0006-7
• Monod, N. (2013), Groups of piecewise projective homeomorphisms, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 110 (12): 4524—4527, doi:10.1073/pnas.1218426110
• Lodha, Y.; Moore, J.T., A non amenable finitely presented group of piecewise projective homeomorphisms
• Lodha, Y., A type $F_{\infty }$ group of piecewise projective homeomorphisms